分叉计算的若干问题

1分岔计算的若干问题武际可(WUJike)北京大学力学与工程科学系DepartmentofMechanicsandEngineeringSciencesPekingUniversity2§1前言§2弧长法与分岔点的判断§3动力系统分岔的定义§4非自治动力系统的等价分类§5同宿(异宿)轨道的寻求§6求解动力系统的伪弧长法3§1前言4著名理论物理学家、诺贝尔奖金获奖者费音曼（RichardPhillipsFeynmann,1918－1988）在他的《物理学讲义》（LecturesonPhysics）中的一段话：“我们已经写下水流的方程，用实验的方法，我们发现了一系列用于理解的近似概念――涡街、湍流尾迹、边界层。如果我们有稍许不同形式的类似方程，而且我们没有法子对这方程作实验，我想以哪怕是原始的、可怀疑的、含混的方式去求解这一方程，以求确定数量性态或数量结果。例如，我们的方程是对于太阳，把它看为无太阳黑子、表面无硬块的结构、没有凸凹不平的氢气球。尽管作了这样的简化，我们仍然还未找到求解的方法。…。人类智慧觉醒的下一世纪，也许可能产生了解方程定量含义的新方法。”RichardPhillipsFeynmann1918－19885分岔是非常普遍的现象。分岔是系统两种性质上不同的状态转变点。掌握系统的分岔点对把握系统的性质和行为非常重要。分岔问题是实质非线性问题。分岔的研究目前引起所有的可以精确化的科学的共同兴趣。6中青海省桥头发电厂六期扩建工程施工现场1998年9月19日上午发生一起重大伤亡事故，一座正在修建中的冷却塔在修至20米高处时，用于浇筑混凝土的钢模板突然全部坍塌脱落，致使正在施工的数十名工人全部从空中跌落下来，造成4人死亡，52人受伤。目前，事故原因正在调查中。图为事故现场。7ppp中新社深圳2000年十一月二十八日电：正在施工中的深圳盐坝高速公路起点高架引桥昨晚九时左右突然坍塌，在桥面作业的六十九名工人随桥面滚落坠下，截至今天凌晨一时三十分，所有人员均被救出，三十三人被送医院急救，其中十人重伤，二十三人轻伤。图为桥梁倒塌现场(陈文摄)。初步认定事故是因技术问题造成建桥支架失稳引发的。8空穴的萌生假设，即弹性球的内半径趋于零。并且考虑，即在某个p作用下空穴半径从零突然增加到非零。在这样的条件下解有关方程，就会得到空穴萌生的条件。我们对这个问题进行了分析求解，并且对相应的分析表达式进行了数值计算，对于不同的值和不同的v值，得到值的结果表示在图上。从图上可以看出，当时，趋于一个确定的值。这种情况正好是空穴从半径为零突然产生的临界情形。ab0vab0vab9§2弧长法与分岔点的判断1.武际可，苏先樾.弹性系统的稳定性,科学出版社,1994.2.周鲲.动力系统Hopf分岔的数值计算及应用,硕士论文.3.武际可,黄克服.分岔的数值方法,待出版.10用伪弧长法追踪非线性方程组的解曲线：对于有限维静力状态方程，若记，忽略状态变量和参变量的差别，则原来方程改变为：(1)0y1:nnFRR而且已知有一点是满足（1）的。()0Fy11对(1)微分得若令0DFdyDy若记(1)()[]innjFADFyy],,,ˆ,,,det[)1(1111niiiiiyFyFyFyFyFJ11(){,,}TnJJvy12这里表示划去该列.显然,引进弧长这个辅助参数,并定义空间中一维曲线的弧长由来确定。),,2,1(,0},,{},,{1111niJJyFyFTnniis1nR1nR1122niidyds13因而是(1)式解曲线的切向量,是其单位切向量.于是(1)式的求解可以化归为求解类似地,可将上式转化为常微分方程的Cauchy问题：11(){,,}TnJJvy()syy()()vyvy()()0sFyGyy-14数值求解(2)式的最简单方式是Euler预报法，在求解过程中每前进一步或若干步后，可以做Newton型迭代修正，联合使用这两种方法，就形成了追踪解流形的一种有效算法，即预报—修正法过程的延续算法。0(0)ddsyyy(2)15考虑动力系统是它的平衡解即对给定的动力系统作微小扰动u有把上面的两个式子相减就可以得到如果u有非零解，就说是动力系统的分岔点(,)ddtxFx00(,)x00(,)0Fx00(,)ddt0xuFxu00d()(,)()dtAttuxu00(,)x16判断和确定解曲线上的分岔点:为了寻求一种适于高维问题的算法来判断和确定分岔点，我们可以引进一个变换：矩阵A,B的特征值具有如下关系：它将A的特征值所在复平面上的虚轴映射成了B的特征值所在复平面上的特征圆.1]][[IAIAB11AAB17因此,在初始状态(稳定状态),的特征值在复平面的左半平面上,而对应的的特征值均在复平面的单位圆内.这样,通过变换将寻求系统的分岔点的问题转化为用乘幂法（文献[1]）求矩阵的具最大模的共轭复特征值的问题.如果我们搜索出具有最大模的点并能进一步判断即对应，则无疑之对应的点就是静分岔点；否则为Hopf分岔点。由于在实际计算中很难恰有()A因此我们需要借助于变号法来搜索解曲线上的分岔点。1.武际可，苏先樾.弹性系统的稳定性,科学出版社,1994.)(B)(B1B1B0A*((),)CCx)(CAC1118分叉，即当时的数值分析方法。根据定理5.5.1(文献[1]),可以把求分岔方向化为线性特征值问题其中，是的单位正交基底。(3).分岔方向的寻求：对于静分岔方向的寻求，这里仅给出简单2)))((dim(yDFNA()TADvy12{,}(())NDFy19首先要求出的两个单位向量，12,为了避免求向量的微分，取适当小的正数，计算矩阵(())NDFyv20对应的非零、单重实特征根的特征向量就确定了近似的分岔方向对于多重分岔情形，文献[1]也给出具体的追踪方法。当探寻到Hopf分岔点后，就需要追踪出周期性的闭轨。设闭轨是空间中的一封闭曲线,这里是曲线弧长。我们对x(s)采用m个等距分点的Hermite插值，就会的戴一组非线性方程组。这样.我们把追踪极限环这一动态问题转化为一个静态问题,而后者利用伪弧长算法可以毫无困难地进行.A12{,}1212unR()sxxs于是线性特征值问题21若干算例利用弧长法可以没有困难地计算材料软化、塑性流动曲屈后行为等一系列以前认为困难的问题。悬臂槽钢的弯曲22PRBChWVtA栱的大变形2324§3动力系统分岔的定义25其相应的平衡方程为定义1.令是系统(4)的一个不动点，且矩阵没有纯虚的特征值.如果在的任意邻域内都存在异于的两个不同的解和，且在这两点的稳定流行的维数，则称是(4)的静分岔点。(,)(3)ddtxFx(,)0(4)Fx00(,)x00(,)x00(,)x00(,)x11(,)x22(,)x00(,)xDFx对于分岔问题，尽管人们十分关心，也已经研究了许多年，但是对于它的定义却没有认真地推敲。就以平衡解的分岔来说，就有两种不同的定义。考虑动力系统26的两个不同的解定义2.令是系统(3)的一个零解，且矩阵没有纯虚的特征值.如果在的任意邻域内都存在异于和，则称是(3)的静分岔点。我们在[7]、[8]中证明了在如下条件，即：是系统(3)的孤立奇点，0是矩阵的单重特征值，以上两个定义是等价的.但是当有重特征值是可以是不等价的,并且给出了反例.定义3.如果存在的某个点，对于任给的存在不同的和，使而且对应(3)有两个不同的解，即：00(,)x00(,)x00(,)x1(,)x2(,)x00(,)x00(,)xDFx00(,)xDFx00(,)x00210(1,2)ii12()()ttx,x7周鲲，武际可，谈谈分岔的定义，非线性动力学学报，Vol.2,No.3,p.264-2698K.Zhou,J.K.Wu,Onthedefinitionsofbifurcation,InternationalJournalofBifurcationandChaos,Vol.7,No.8,(1997)27分别属于不同的等价类,则称为(3)的一个分岔点.在这个定义中，我们把动力系统的分岔同它的等价类相联系，不同的等价类定义就有不同的分岔。12()()ttx,x0111222()()()()dtdtdtdtxFxxFx,,如果解28§4非自治线性动力系统的等价类5.Wujike,HuangKefu,LinWenhui,Ontheequivalenceoflinearnon-autonomoussystems,Progressinnaturalscience,Vol.11,No.3,p.184-19129定义4设在空间的区域U给了两个动力系统它们相应的流是如果我们给了在两个动力系统的变量x和y之间的一类变换H，在H中存在一个变换在这个变换下，(5)和（6）或（5）’和(6)’具有相同的形式，则称两个动力系统在变换H下是等价的。d()dttd()=()(5)d=()(6)xxyGyttF00(,)(5)'(,)(6)'=ttxxy=y()(7)y=hx30我们知道，对于线性自治系统如果矩阵A没有实部为零的特征值，且有个正实部特征值，个负实部特征值，则(8)等价于这里1n2n12()nnn121(1,...,),1(1,...,).iiininn(8)dAdtxx(1,2,,)(9)iiiyyin31对于非自治系统我们最近证明了如下的结果：在非自治系统（10）中，若矩阵A(t)和它的逆矩阵都连续且有界，它的特征值的实部有1n个恒大于一个正实数，有2n个恒小于一个负实数12()nnn.而且它的全部特征值满足如下条件：如果存在正常数，满足：使对于充分大at的000[()sgn()]()0[()sgn()]0()0ttBtatdtAtBtatdtAt或者则（10）拓扑等价于(9)。()(10)dAtdtxx32(,)dtdtxFx的一个解是*()tx，对这个解做小扰动()t代入原方程得()(,),(,)ddttdtdtx*vx*Fx*vFx*把这两个方程相减，并且对右端的()t线性化，就会得到一个关于()t的线性非自治系统:()(,)()tAttvv在有了关于线性非自治系统等价类的结果以后，我们还可以讨论动力系统的一个具体的解是否是分岔解。设动力系统33()t的分岔定义，如果解()t有分岔点，我们就可以说*()tx是一个分岔解。仿照定义4可以给出关于34§5同宿(异宿)轨道的寻求35(,)((,)(,))(12)ttTtxxxx的一个以T为周期的闭轨(,)(11)ddtxFx如果我们能够判断在相应的闭轨(12)上有一个（或多个）奇点*,x即(*,)(13)0Fx则这个闭轨就是同宿（或异宿）轨。一般认为，同宿和异宿轨道的出现是动力系统从规则运动转化为混沌的通道。所以确定动力系统在什么条件下出现同宿和异宿轨道，对于讨论系统向混沌运动的转化具有十分重要的意义。设我们已经追踪到动力系统36令x为闭轨上的点，*xx为奇点，把(13)在展开，就得到(,)(*,)(,)(*)DD0(14)xFFxFxxxx对上式补充一个方程(,)(*)0Fxxx在上面1n个方程中，((*),1)Txx是非零向量，所以系数行列式必然满足：(,)(,)(,)0TDD0(15)xFFxxFx37x,再代入(14)就可以得到,*x于是就可以判断*x是否在闭轨上，从而确定已知的闭轨是否是同宿(异宿)轨。上面的求