推理与证明(复习课)-好

推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明数学归纳法间接证明类比推理归纳推理分析法综合法反证法知识结构复习:从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.1.什么叫推理?2.合情推理的主要形式有和.归纳类比归纳推理由部分到整体、特殊到一般的推理;以观察分析为基础,推测新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立.例.黑白两种颜色的正六边形地砖按如图的规律拼成若干个图案:则第n个图案中有白色地砖块.第1个第2个第3个2(2n+1)(06广东,14)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)=;f(n)=（答案用n表示）.…10(1)(2)6nnn设第n堆由上到下,第n层有an个乒乓球,则(1)1232nnnan22nn2221122222nnnS222(12)(12)2nn1(1)(21)(1)[]262nnnnn(1)(2)6nnn【评析】通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.类比推理由特殊到特殊的推理;以旧的知识为基础,推测新的结果；结论不一定成立.具有发现的功能;类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶检验猜想。即观察、比较联想、类推猜想新结论(06广东,10)对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)=(c,d),当且仅当a=c,b=d；运算“”为：运算“”为：设p,q∈R，若，则()A.(4，0)B.(2，0)C.(0，2)D.(0，-4)abcdacbdbcad(,)(,)(,);abcdacbd(,)(,)(,),pq(1,2)(,)(5,0)(1,2)(,)pq(1,2)(,)(5,0)pq由得251202pqppqq(1,2)(,)(1,2)(1,2)(2,0)pqB【评析】根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象.类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n＜19,n∈N*)成立，类比上述性质，相应地:在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式成立.归纳推理：类比推理：实验、观察概括、推广猜测一般性结论观察、比较联想、类推猜测新的结论简言之：归纳:特殊一般类比:特殊特殊简言之：合情推理归纳推理和类比推理的共同点从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．注：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．演绎推理三段论的基本格式M—P（M是P）S—M（S是M）S—P（S是P）（大前提）（小前提）（结论）演绎推理（练习）（大前提）形是直角三角形两条边的平方和的三角一条边的平方等于其它）（1（小前提），而，，的三边长依次为222345543ABC（结论）是直角三角形ABC（大前提）的图象是一条直线一次函数）（)0(2kbkxy（小前提）是一次函数函数52xy（结论）的图象是一条直线函数52xy在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D,E是垂足.求证：AB的中点M到D,E的距离相等.考点演绎推理【分析】解答本题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提.【证明】（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形——大前提在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=90°——小前提所以△ABD是直角三角形——结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半——大前提而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线——小前提所以DM=AB.同理EM=AB.所以DM=EM.2121【评析】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.直接证明分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程分析法综合法概念直接证明综合法和分析法的推证过程如下：综合法已知条件结论分析法结论已知条件综合法利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。条件结论推理论证条件定理公理定义PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ…(顺推证法、由因导果法)bc+caca+abab+bc=++222222abc+abc+abc=a+b+c.法1:∵a、b、c不相等正，且abc=1，111∴++=bc+ca+ababc证为数例.已知a、b、c不相等正，且abc=1，111求：a+b+c++.abc为数证.111∴a+b+c++成立abc一.综合法111111+++bccaab++222111=++.abc法2:∵a、b、c不相等正，且abc=1，111∴a+b+c=++bccaab证为数.111∴a+b+c++成立abc例.已知a、b、c不相等正，且abc=1，111求：a+b+c++.abc为数证【评析】（1）在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件.简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法.（2）一般问题都是用综合法解决的，要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性.在锐角三角形ABC中,求证：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.＊对应演练＊证明:∵锐角三角形ABC中，A+B＞,∴A＞-B.∴0＜-B＜A＜.又∵在（0,）内正弦函数是单调递增函数,∴sinA＞sin（-B）=cosB.即sinA＞cosB.①同理，sinB＞cosC,②sinC＞cosA.③由①+②+③得sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.2π2π2π2π2π2一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）。QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件…分析法(逆推证法、执果索因法)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：【分析法】要证只需证只需证显然成立所以结论成立格式【证明】要证只要证∵a0,故只要证考点分析法证明已知a0,求证:【分析】所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.2.-a1+a≥2-a1+a222,-a1+a2-a1+a22≥.2a1+a2a1+a22++≥.)2a1+a2)a1+a(2222++(≥从而只要证只要证即,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.2a1+a22≥2)1(22a12a4a1+a4a1+a222222+++++++aa≥)1(2a1+a222aa+≥)12(2a1+(a42222aa++≥)即【评析】分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.•反证法证明过程否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真用反证法证明命题的过程用框图表示为：肯定条件否定结论导致逻辑矛盾反设不成立结论成立【分析】本题结论以“至少”形式出现，从正面思考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.考点反证法证明若x,y都是正实数，且x+y＞2,求证：或中至少有一个成立.2yx1+22y1+【证明】假设或都不成立,则有和同时成立.因为x＞0且y＞0，所以1+x≥2y,且1+y≥2x.两式相加，得2+x+y≥2x+2y.所以x+y≤2.这与已知条件x+y＞2矛盾.因此和中至少有一个成立.2yx1+22y1+2yx1≥+22y1≥+2yx1+22y1+【评析】（1）当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证.反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理;否则，将出现循环论证的错误.