曲面及其方程(2)

2011.2.6北京工商大学8-3-1§8.3曲面及其方程曲面方程的概念旋转曲面柱面二次曲面小结思考题作业2011.2.6北京工商大学8-3-2一、曲面方程的概念定义(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;如果曲面S0),,(zyxF有下述关系:那么,0),,(zyxF方程就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形.曲面及其方程与三元方程xyzOS0),,(zyxF2011.2.6北京工商大学8-3-3解RMM||0202020)()()(zzyyxx2202020)()()(Rzzyyxx所求方程为球心在原点的球面方程2222Rzyx的、半径为建立球心在点RzyxM),,(0000.球面方程特殊),,(zyxM设是球面上任一点,R21221221221)()()(zzyyxxMM曲面及其方程例2011.2.6北京工商大学8-3-4例解||||0MMMO222222432zyxzyx911634132222zyx所求方程),,(zyxM设是曲面上任一点,的全体所组成的曲面方程.的点：的距离之比为及求与原点21)4,3,2(0MO2121曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-5二、旋转曲面1.定义曲面及其方程此定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称称此曲面为旋转曲面.一周所成的曲面,母线.为方便,取作坐标面,常把曲线所在平面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转母线轴旋转轴取作坐标轴.定义2011.2.6北京工商大学8-3-62.旋转曲面方程d),z,y,x(M任取曲面上的点zz1)1(22yxd将,1zz0),(11zyf),,,0(111zyM0),(22zyxf得方程轴的距离到点zM)2(||1y221yxy代入曲面及其方程0),(11zyfxyzO),,0(111zyM),,(zyxM0),(:zyfC0)z,y(fyOz坐标面上设有曲线：在2011.2.6北京工商大学8-3-70),(yf22zx旋转曲面方程为旋转一周的由上面的分析得：0),(zyfyOz坐标面上的已知曲线同理,0),(zyfyOz坐标面上的已知曲线旋转曲面方程为旋转一周的0),(22zyxf绕z轴绕y轴曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-8将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程.122cz旋转双曲面例双曲线(1)12222czax分别绕x轴和z轴;绕x轴旋转绕z轴旋转2c22zy22ax122yx2a曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-9绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面pzyx222旋转抛物面(2)12222czayyOz坐标面上的椭圆绕y轴和z轴;(3)pzyyOz22坐标面上的抛物线绕z轴.曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-10选择题B方程222)(yxaz(A)xOz平面上曲线绕y轴旋转所得曲面;22)(xaz(B)xOz平面上直线绕z轴旋转所得曲面；xaz(C)yOz平面上直线绕y轴旋转所得曲面；yaz(D)yOz平面上曲线绕x轴旋转所得曲面.22)(yaz表示().曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-11定义三、柱面平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的动直线L称为柱面的准线,母线.曲面及其方程所形成的曲面称为移动的直线L柱面.LC准线母线2011.2.6北京工商大学8-3-12因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线,例讨论方程的图形.222Ryx在xOy面上,222Ryx解母线平行于z轴的柱面.曲面及其方程表一个圆C.过点作平行z轴的直线L,)0,,(1yxM设点在圆C上,对任意z,点的坐标也满足方程沿曲线C,平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标都满足此方程,在空间,222Ryx就是圆柱面方程.此曲面称为圆柱面.),,(zyxMLxyzOC1MM)0,,(1yxM,222Ryx2011.2.6北京工商大学8-3-13xyzOxyzOxy平面表示母线平行于zxy22.22xyxy表示母线平行于z轴.xy曲面及其方程xy22抛物柱面柱面举例其准线是xOy面上的抛物线轴的柱面,的柱面,其准线是xOy面上的直线2011.2.6北京工商大学8-3-14总结：柱面的特征：（其他类推）实例12222czby椭圆柱面12222byax双曲柱面pzx22抛物柱面,0),(,yxFzyx的方程而缺只含直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,在空间为xOy面上的曲线C.其准线曲面及其方程母线平行于x轴母线平行于z轴母线平行于y轴2011.2.6北京工商大学8-3-15二次曲面的定义四、二次曲面曲面及其方程具体形式为：三元二次方程所表示的曲面称为0222qnzmyhxgzxfyzexyczbyaxqnmlgfecba,,,,,,,,,其中均为常数.球面、二次曲面.如某些柱面(圆柱面、抛物柱面、双曲柱面等)都是二次曲面.2011.2.6北京工商大学8-3-16研究二次曲面的方法是采用截痕法.下面用截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面.即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌.曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-171.椭球面(椭圆面)1222222czbyax曲面及其方程)0,0,0(cba由方程可知：,1,1,1222222czbyax即,||,||,||czbyax说明椭球面包含在由平面围成的长方体内.czbyax,,2011.2.6北京工商大学8-3-18曲面及其方程先考虑椭球面与坐标面的截痕：012222yczax012222zbyax去截这个曲面,所得截痕的方程是)||0(11czzz012222xczby1222222czbyax1z000这些截痕都是椭圆.再用平行于xOy面的平面122122221zzczbyax这些截痕也都是椭圆.2011.2.6北京工商大学8-3-19椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.曲面及其方程与平面,1xx1yy椭圆.同理,的截痕也是1222222czbyax1x1yzxyOxyzO2011.2.6北京工商大学8-3-20椭球面的几种特殊情况:)1(1222222czayax旋转椭球面12222czax由椭圆旋转椭球面与椭球面的区别：122222czayx方程可写为与平面1zz)||(1czba1222222czbyaxa绕z轴旋转而成.的交线为圆.曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-21cba)2(1222222azayax球面2222azyx方程可写为曲面及其方程xyzO2011.2.6北京工商大学8-3-222.抛物面zqypx2222（与同号）pq椭圆抛物面用截痕法讨论用平面)0(zxOy设0,0qp原点叫做椭圆抛物面的去截这曲面,顶点.0(1)曲面及其方程截痕为原点.用平面1zz11212122zzqzypzx)0(1z去截这曲面,截痕为椭圆.,01时当z截痕退缩为原点;,01时当z截痕不存在.1z2011.2.6北京工商大学8-3-23用坐标面)0(yxOz022ypzx截痕为抛物线.zqypx2222(2)0曲面及其方程去截这曲面,用平面1yy121222yyqyzpx它的轴平行于轴z顶点qyy2,,0211去截这曲面,截痕为抛物线.1y2011.2.6北京工商大学8-3-24用坐标面)0(xyOz1xx同理当0,0qpzqypx2222(3)时可类似讨论.01x曲面及其方程去截这曲面,及平面截痕为抛物线.0,0qp0,0qp椭圆抛物面的图形如下：zxyOOzxyxyzO2011.2.6北京工商大学8-3-25,时当qpzpypx2222旋转抛物面)0(p(由面上的抛物线xOzpzx2211222zzpzyx用平面1zz)0(1z当变动时，这种圆的中心都在轴上.1zz特殊地方程变为zqypx2222而成的)pp1z曲面及其方程去截这曲面,截痕为圆.绕z轴旋转2011.2.6北京工商大学8-3-26zqypx2222（与同号）pq双曲抛物面用截痕法讨论：设0,0qp图形如下：有两个异号的平方项,另一变量方程z=xy表示什么曲面？马鞍面特点是:是一次项,无常数项.(马鞍面)曲面及其方程xyzO2011.2.6北京工商大学8-3-273.双曲面单叶双曲面1222222czbyax特点是:平方项有一个取负号,另两个取正号.曲面及其方程OxyzxyzO2011.2.6北京工商大学8-3-28类似地,1222222czbyax　1222222czbyax　　亦表示单叶双曲面.方程曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-29双叶双曲面1222222czbyax1222222czbyax或特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号.它分成上、下两个曲面.注曲面及其方程xyzO类似地,1222222czbyax或1222222czbyax亦表示方程双叶双曲面.2011.2.6北京工商大学8-3-30方程表示()(A)双曲柱面;(D)锥面.(C)双叶双曲面;(B)旋转双曲面;B椭圆抛物面双曲抛物面(马鞍面）填空设有曲面方程则方程表示的曲面为,0,222时当pqzqypx方程表示的曲面为,0时当pq14222zyx曲面及其方程选择2011.2.6北京工商大学8-3-31上海交大,填空,(90级)是0132222zyx双叶双曲面,它的对称轴在轴上.y上海交大,填空,(95级).43222面所表示的曲面是方程yxz椭圆锥曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-32截痕法;(熟知这几个常见曲面的特性)椭球面、抛物面、双曲面.曲面方程的概念旋转曲面的概念(轴、母线)及求法;柱面的概念(母线、准线);;0),,(zyxF曲面及其方程五、小结2011.2.6北京工商大学8-3-33例解cotyz圆锥面方程cot22yxz曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角)20(称为圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面的方程.yOz面上直线方程为曲面及其方程),,(zyxM),,0(111zyM直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周所得旋转yxzOxyzO2011.2.6北京工商大学8-3-34说明：cot22yxz有圆锥面方程)cot()(2222ayxaz可表示为,a时特别是1222yxz曲面及其方程圆锥面方程2011.2.6北京工商大学8-3-35思考题)0(2||||2aazy分别绕y轴和z轴旋转一周,写出所得旋转面的方程.曲面及其方程将yOz轴坐标面上的曲线解绕y轴旋转.,2||222zxay或2222zxay绕z轴旋转.,2||222azyx或).(222yxaz2011.2.6北京工商大学8-3-36作业习题7-3(318页)3.5.6.7.8.(1)(3)(5)10.11.曲面及其方程