2016版新课标高考数学题型全归纳 理科 PPT.第四章 三角函数第1节

1.了解任意角弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，会用三角函数线解决相关问题.4.熟练运用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值和简单恒等式的证明.π2π✎知识点精讲一、基本概念（1）正角——逆时针旋转而成的角.任意角负角——顺时针旋转而成的角.角（弧度）零角——射线没有旋转而成的角.（2）角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，叫做第几象限角，终边在坐标轴上的角不是象限角.我们称之为坐标轴角（或象限界角）.（3）与角（弧度）终边相同的角的集合为，其意义在于的终边正向、反向转整数圈，终边位置不变.（4）弧度制定义：半径为的圆心角所对弧长，则（弧度或）,.x|2π,kkZrllrrad二、任意角的三角函数定义角终边上的任一点（非顶点），.，，.此定义是解直角三角形内锐角三角函数的推广.类比，对——，邻——，斜——，如图4-2所示.三、同角的三角函数关系式、诱导公式1.同角三角函数的基本关系、诱导公式.平方关系：商数关系：倒数关系：(,)PxyO220rxysinyrcosxrtanyxyxr()r斜y(对)()x邻22sincos1sincostan,cotcossintancot1图4-22.诱导公式：（1）；；，为整数.（2）奇偶性sin,sinπsin,nnn为偶数为奇数cos,cosπcos,nnn为偶数为奇数tanπtannnsinsincoscostantan✎题型归纳及思路提示题型46终边相同的角的集合的表示与识别【例4.1】终边落在坐标轴上的角的集合为（）.A.B.C.D.【分析】表示终边相同的角的集合，必有，而不能，故D错.【解析】解法一：排除法.终边在坐标轴上的角有条终边，取，可知只有B占有四个坐标轴的方向.π,kkZπ,2kkZππ,2kkZπ,2kkNkZkN41,2,3,4k解法二：推演法.终边在坐标轴上的角的集合为“”，可以看作“双向等差数列”，公差为，取初始角，故.故选B.【评注】终边在轴的角的集合，公差为，取初始角；终边在轴的角的集合，公差为，取初始角.3ππ3,2π,π,π,,0,,π,π,2π,2222π20ππ0,22kkkkZZxπ0π,kkZyππππ,22kkZ【例4.4】是第二象限角，是第象限角.【解析】解法一：与终边相同的角的集合公差为，该集合中每个角的一半组成的集合公差为，取第二象限的一个初始集合得的初始集合，对比集合以公差旋转得的分布，如图4-6所示，得是第一、三象限角.解法二：如图4-7所示，是第二象限角，是第一、三象限角，又若是第四象限角，是第二、四象限角.解法三：取，，，即是第一、三象限角.题型47等分角的象限问题22πππ,π22ππ,4222221201203606022402π题型48弧长与扇形面积公式的计算【例4.5】有一周长为的扇形，求该扇形面积的最大值和相应圆心角的大小.【解析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为（弧度），扇形面积为依题意（当且仅当时，即时，取“=”，此时），故扇形面积最大为1，此时（弧度）.【评注】本题可改为面积为1的扇形求周长的最小值.故（当且仅当时取“=”），扇形的最小周长为4.4rl.S0024rlrl，21111422=(42)(42)2()1.22442rrSlrrrrr2l2lr422rr1r1222122Clrlrlrlr扇形，且得，…4C扇形…22lr题型49三角函数定义题【例4.6】角𝛼终边上一点𝑃(2sin5,−2cos5),𝛼∈(0,2π)，则𝛼=().A.5−π2B.3π−5C.5D.5+π2选项B中，若𝛼=3π−5，则cosα=cos3π−5=−cos5，【解析】解法一：排除法5≈5×57°=285°，是第四象限角.𝑥=2sin50,𝑦=−2cos50,𝑟=𝑥2+𝑦2=2，𝛼是第三象限角.选项C中，5是第四象限角，排除C；选项D中，5+π2是第一象限角，排除D；与cos𝛼=𝑥𝑟=sin5矛盾，排除B.故选A.【例4.7】证明:(1)sinπ−𝛼=sin𝛼；(2)sinπ2−𝛼=cos𝛼；(3)tan3π2+𝛼=−1tan𝛼题型50三角函数线及其应用【解析】（1）如图1所示，𝑀𝑃=𝑀′𝑃′⇒sin𝛼=sinπ−𝛼.角π−𝛼与𝛼的终边关于𝑦轴对称.图1-αM'MOyxPP'π-α(2)如图2所示，𝑂𝑀=𝑀′𝑃′⇒cos𝛼=sin(π2−α).角π2−𝛼与𝛼的终边关于直线𝑦=𝑥对称.图2αy=xP-αP'MM'yxπ2-αO(3)如图3所示，tan3π2+𝛼=𝑘𝑂𝑇2=−1𝑘𝑂𝑇1=−1tan𝛼.图3MAyxOα+32πT2T1α题型52同角求值——条件中出现的角和结论中出现的角是相同的【例4.13】（1）已知𝛼∈3π2，2π，若sin𝛼=−13，则cos𝛼=______，tan𝛼=______.（2）已知tan𝛼=2.①𝛼∈π,3π2，sin𝛼=_____，cos𝛼=_____；②2sin𝛼−cos𝛼3sin𝛼+4cos𝛼=_______，sin2𝛼-2sin𝛼cos𝛼−3cos2𝛼=______.（3）已知2sin𝛼−cos𝛼=−5，①sin𝛼cos𝛼+tan𝛼=____;②sin𝛼−cos𝛼=______.【解析】（1）已知角的象限条件，𝛼∈3π2,2π,cos𝛼0,tan𝛼0,依题意，如图所示，作直角三角形⇒cos𝛼=223，tan𝛼=−122=−24.图1α2231（2）①已知角的象限条件.𝛼∈π,3π2,有sin𝛼0,cos𝛼0,如图2所示，作直角三角形⇒sin𝛼=−25=−255,cos𝛼=−15=−55.图2α521②无象限条件，弦化切.2sin𝛼−cos𝛼3sin𝛼+4cos𝛼=2tan𝛼−13tan𝛼+4=2×2−13×2+4=310.=tan2𝛼−2tan𝛼−3tan2𝛼+1=−35.sin2𝛼−2sin𝛼cos𝛼−3cos2𝛼=sin2𝛼−2sin𝛼cos𝛼−3cos2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼（3）无象限条件，两边平方得2sin𝛼−cos𝛼2=5sin2𝛼+cos2𝛼⇒sin2𝛼+4sin𝛼cos𝛼+4cos2𝛼=0⇒sin𝛼+2cos𝛼2=0⇒sin𝛼+2cos𝛼=0⇒tan𝛼+2=0⇒tan𝛼=−2.⇒2sin𝛼−cos𝛼=−5sin𝛼+2cos𝛼=0②由2sin𝛼−cos𝛼=−5，5sin（𝛼+𝜑）=−5，可知当𝑥=𝛼时，2sin𝑥−cos𝑥取最小值，2sin𝑥−cos𝑥′|𝑥=𝛼=sin𝛼+2cos𝛼=0.⇒cosα=55sinα=−255.sin𝛼−cos𝛼=−355.①sin𝛼cos𝛼+tan𝛼=sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼+tan𝛼=tan𝛼tan2α+1+tan𝛼=−125.题型53诱导求值与变形【例4.15】求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.【解析】（1）（2）（3）【评注】利用诱导公式化简或求值，可以参照口诀“负角化正角，大角化小角，化为锐角，再计算比较”.sin300041πcos351tanπ441π41ππππ1coscoscos14πcoscos33333251π51ππtantan13πtan1.444（1）sin−3000°=−sin8×360°+120°=−sin180°−60°=−sin60°=−32.【例4.15变式3】已知sin𝑥+π6=14，则sin5π6−𝑥+sin2π3−𝑥=______.因为𝑥+π6+5π6−𝑥=π，【解析】又因为𝑥+π6+π3−𝑥=π2，sin5π6−𝑥=sinπ−𝑥+π6=sin𝑥+π6=14，sinπ3−𝑥=sinπ2−𝑥+π6=cos𝑥+π6.故sin5π6−𝑥+sin2π3−𝑥=14+1−sin2𝑥+π6=14+1−116=1916.【评注】三角恒等变换一定要关注“角的关系”和“角的范围”.角的关系决定公式的选取；角的范围决定三角函数值得正负.