高次不等式的解法(经典)

一元二次不等式的应用------分式不等式和高次不等式的解法.会解可化为一元二次(或三次)不等式的分式不等式．以及高次不等式的解法一、简单分式不等式解法函数y＝f(x)的图像(如图)，不等式f(x)＞0的解集为．(－1,0)∪(1,2)0231))((xx023011xx023012xx或0231)()(xx例１：解不等式解:原不等式等价于解（１）得32x1x321xxx或所以原不等式的解集为（2）解不等式解（２）得1x321xxx或得为整式不等式求解。因此，分式不等式可化同解。与由此可见此可见023x1x023x1x解:原不等式等价于所以原不等式的解集为.321xxx或0)23()1xx（例２：解不等式0)23)(1(xx023x（１）（２）解不等式（１）得1x32x或解不等式（２）得32x1．解分式不等式，首先要把它等价变形为整式不等式，其有如下几种类型(1)fxgx0⇔.(2)fxgx0⇔.(3)fxgx≥0⇔⇔f(x)g(x)0或f(x)＝0.(4)fxgx≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0⇔或.f(x)g(x)0f(x)g(x)0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0f(x)g(x)0f(x)＝0解：原不等式可化为02231xx整理得02357xx即：0)23)(57(xx所以原不等式的解集为7532xxx或例4：解不等式2231xx0543xx1512xx例5:解不等式解:移项通分得所以原不等式等价于050543xxx))((即原不等式的解集为534xxx或小结2：对型不等式的解法kxgxf)()(一：移项二：通分三：化为整式解：约分得0)3()2(xx01x即010)3)(2(xxx所以原不等式解集为123xxx且例6:解不等式0)3)(1()2)(1(xxxx解法小结3：对于分子、分母可约分的分式不等式，先约去公因式，(但要注意到公因式不为零)再把它等价转化为前面讨论过的形式。解：所以原不等式可化为1122xxx整理0232xx21xx所以原不等式的解集为012xx因为恒成立11122xxx练习２：解不等式解法总结：解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式。在此过程中，等价性尤为重要，因此解分式不等式一般不去分母，而是将其转化为0)()(0)()(xgxfxgxf或等形式，再实施同解变形简单高次不等式解法探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)0点评：可知，高次不等式利用商或积的符号法则转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）求解。这种方法叫同解转化法。113,212.{123}.xxxxx尝试：由积的符号法则，本不等式可化成两个不等式组：解（）得解（）得原不等式的解集是以上两个不等式组解集的并集，故原不等式的解集为或1)(2)01)(2)03030(1)(2){{xxxxxx（（或探究：解不等式(x-1)(x-2)(x-3)0尝试2：令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,-+-+123将数轴分为四个区间,自右向左依次标上“+”，“-”，图中标”+”号的区间即为不等式y0的解集.即不等式(x-1)(x-2)(x-3)0的解集为{x︳1x2或x3}.总结:此法为数轴标根法.在解高次不等式与分式不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.解不等式(1)(x2－1)(x2－68＋8)≥0(2)3x－5x2＋2x－3≤2[解题过程]方法一：(x2－1)(x2－6x＋8)≥0等价于x2－1≥0，x2－6x＋8≥0，①或x2－1≤0，x2－6x＋8≤0②不等式组①的解集为{x|x≥4或1≤x≤2或x≤－1}．不等式组②的解集为∅，∴原不等式的解集为{x|x≤－1或1≤x≤2或x≥4}．方法二：将原不等式化为(x＋1)(x－1)(x－2)(x－4)≥0.对应方程各根依次为－1,1,2,4，由数轴标根法(如下图所示)得原不等式的解集为{x|x≤－1或1≤x≤2或x≥4}．(2)原不等式等价变形为3x－5x2＋2x－3－2≤0即为－2x2－x＋1x2＋2x－3≤0，即为2x2＋x－1x2＋2x－3≥0.即为2x2＋x－1x2＋2x－3≥0x2＋2x－3≠0即等价变形为2x－1x＋1x＋3x－1≥0x≠－3且x≠1如下图所示，可得原不等式解集为xx－3或－1≤x≤12或x1.(也可将2x2＋x－1x2＋2x－3≥0转化为不等式组得2x2＋x－1≥0x2＋2x－30或2x2＋x－1≤0x2－2x－30来解．)2．数轴标根法解不等式的步骤是(1)等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积．(未知系数一定为正数)(2)把各因式的根标在数轴上．(3)用曲线穿根．(4)看图像写出解集．“从上往下同时从右向左”（遇奇穿过，遇偶折回）1.解不等式：(1)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3＜0；(2)x2－4x＋13x2－7x＋2＜1；(3)x2－2x＋1x2＋9x－10≥0.∴原不等式解集为{x|x－5或－5x－4或x2}．解析：(1)原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)30⇔x＋5≠0，x＋4x－20.⇔x≠－5，x－4或x2，其解集如图的阴影部分．(2)x2－4x＋13x2－7x＋21⇔x2－4x＋1－3x2＋7x－23x2－7x＋20⇔－2x2＋3x－13x2－7x＋20⇔2x－1x－13x－1x－20⇔(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)0.得不等式的解集为－∞，13∪12，1∪(2，＋∞)．(3)原不等式可化为x－12x－1x＋10≥0，原不等式等价于(x－1)3(x＋10)≥0(x≠1，且x≠－10)．由图所示，可得不等式解集为{x|x－10，或x1}．