第2章2.3-双曲线-习题课

第1页高考调研·新课标·数学选修2-12．3双曲线习题课第2页高考调研·新课标·数学选修2-1授人以渔第3页高考调研·新课标·数学选修2-1题型一求双曲线方程例1(1)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为________．(2)已知双曲线中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴，离心率为2，且过点(4，－10)，则此双曲线方程为____________．第4页高考调研·新课标·数学选修2-1【解析】(1)令与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k，将点M(2，－2)代入，得k＝222－(－2)2＝－2，∴－x24＋y22＝1，即为所求．(2)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵过(4，－10)代入，得λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.【答案】(1)y22－x24＝1(2)x2－y2＝6第5页高考调研·新课标·数学选修2-1探究1已知双曲线的渐近线，求双曲线方程，可利用共渐近线的双曲线方程x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再由其他条件求λ即可．第6页高考调研·新课标·数学选修2-1思考题1(2015·安徽，文)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B.x24－y2＝1C．x2－y22＝1D.x22－y2＝1第7页高考调研·新课标·数学选修2-1【解析】对于A，令x2－y24＝0，得y＝±2x；对于B，令x24－y2＝0，得y＝±12x；对于C，令x2－y22＝0，得y＝±2x；对于D，令x22－y2＝0，得y＝±22x.故选A.【答案】A第8页高考调研·新课标·数学选修2-1题型二双曲线定义及应用例2某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)第9页高考调研·新课标·数学选修2-1【解析】如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴，y轴正方向，建立直角坐标系．设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A(－1020，0)，B(1020，0)，C(0，1020)．设P(x，y)为巨响发生点，由A，C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x.因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|＝340×4＝1360(m)．第10页高考调研·新课标·数学选修2-1由双曲线定义知P点在以A，B为焦点的双曲线x2a2－y2b2＝1上．依题意得a＝680,c＝1020，∴b2＝c2－a2＝10202－6802＝5×3402.故双曲线方程为x26802－y25×3402＝1.用y＝－x代入上式，得x＝±6805.∵|PB|＞|PA|，∴x＝－6805，y＝6805，即P(－6805，6805)．故PO＝68010(m)．第11页高考调研·新课标·数学选修2-1答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心68010m处．第12页高考调研·新课标·数学选修2-1探究2问题涉及曲线上的点到两焦点距离时，应考虑用双曲线的第一定义，若问题涉及曲线上的点到焦点和对应准线的距离时，应考虑用第二定义．第13页高考调研·新课标·数学选修2-1思考题2如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．第14页高考调研·新课标·数学选修2-1【解析】圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝310＝|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914.∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1(x≤－32)．第15页高考调研·新课标·数学选修2-1题型三双曲线的几何性质例3(1)若双曲线x24－y2b2＝1(b0)的渐近线方程为y＝±12x，则b等于________．【解析】x24－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±12bx，∵y＝±12x，∴12b＝12，∴b＝1.【答案】1第16页高考调研·新课标·数学选修2-1(2)二次曲线x24＋y2m＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率e的取值范围是()A．[22，32]B．[32，52]C．[52，62]D．[32，62]第17页高考调研·新课标·数学选修2-1【解析】当m∈[－2，－1]时，二次曲线x24－y2－m＝1是双曲线，其离心率e＝4－m2∈[52，62]．【答案】C第18页高考调研·新课标·数学选修2-1探究3熟悉双曲线的几何性质是解答本题的关键．第19页高考调研·新课标·数学选修2-1思考题3(2015·湖南)设F是双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．第20页高考调研·新课标·数学选修2-1【解析】不妨设F(c，0)为双曲线右焦点，虚轴一个端点为B(0，b)，依题意得点P为(－c，2b)，又点P在双曲线上，所以（－c）2a2－（2b）2b2＝1，得c2a2＝5，即e2＝5，因为e1，所以e＝5.【答案】5第21页高考调研·新课标·数学选修2-1题型四直线与双曲线的位置关系例4已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的左支交于A，B两点，若另有一条直线l经过P(－2，0)及线段AB的中点Q.求直线PQ的斜率的取值范围．第22页高考调研·新课标·数学选修2-1【解析】将y＝kx－1代入双曲线方程x2－y2＝1，化简整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.由题设条件4k2＋8（1－k2）＞0，－2k1－k2＜0，－21－k2＞0，∴－2＜k＜－1.第23页高考调研·新课标·数学选修2-1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q(x1＋x22，y1＋y22)，kPQ＝y1＋y22x1＋x22＋2＝y1＋y2（x1＋x2）＋4.第24页高考调研·新课标·数学选修2-1∵x1＋x2＝2kk2－1.y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝2k2k2－1－2＝2k2－1，代入kPQ＝2k2－12kk2－1＋4＝24k2＋2k－4.∵－2k－1，∴4k2＋2k－4∈(－2，4－22)．∴kPQ∈(－∞，－1)∪(2＋22，＋∞)．第25页高考调研·新课标·数学选修2-1探究4直线与双曲线交于右支两点，应满足什么条件即可求得k的范围，而k的范围也正是影响b的范围的条件．第26页高考调研·新课标·数学选修2-1思考题4如图，双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，求：(1)双曲线的离心率；(2)若菱形F1B1F2B2的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，求比值S1S2.第27页高考调研·新课标·数学选修2-1【解析】(1)S△OF2B2＝12bc＝12ab2＋c2，化简得：a2＋ac－c2＝0，即e2－e－1＝0.又e1，则e＝1＋52.(2)由题意知：S1＝2bc，在△OF2B2中，连接OA，则|AF2|＝b，矩形ABCD边长|AD|＝2abc，|AB|＝2a2c，S2＝4a3bc2，则S1S2＝2bc×c24a3b＝12e3＝2＋52.第28页高考调研·新课标·数学选修2-1课后巩固第29页高考调研·新课标·数学选修2-11．下列双曲线中离心率为62的是()A.x22－y24＝1B.x24－y22＝1C.x24－y26＝1D.x24－y210＝1答案B解析由e＝62知B正确．第30页高考调研·新课标·数学选修2-12．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.52D.22答案B解析两渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，故e＝2.第31页高考调研·新课标·数学选修2-13．(2015·北京，文)已知(2，0)是双曲线x2－y2b2＝1(b0)的一个焦点，则b＝________．答案3解析因为(2，0)是双曲线x2－y2b2＝1(b0)的一个焦点，所以1＋b2＝4，则b＝3.第32页高考调研·新课标·数学选修2-14．设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________．第33页高考调研·新课标·数学选修2-1答案4x±3y＝0解析设PF1的中点为M，由|PF2|＝|F1F2|，故F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a，在Rt△F1F2M中，|F1M|＝（2c）2－（2a）2＝2b，故|PF1|＝4b，第34页高考调研·新课标·数学选修2-1根据双曲线定义4b－2c＝2a，即2b－a＝c，即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a，故双曲线的渐近线方程是y＝±bax，即y＝±43x，即4x±3y＝0.第35页高考调研·新课标·数学选修2-15．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点是F2(2，0)，离心率e＝2.(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．第36页高考调研·新课标·数学选修2-1解析(1)由已知得c＝2，e＝2，∴a＝1，b＝3.∴所求的双曲线方程为x2－y23＝1.第37页高考调研·新课标·数学选修2-1(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组y＝x＋m，①x2－y23＝1，②将①式代入②式，整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)第38页高考调研·新课标·数学选修2-1设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝m2，y0＝x0＋m＝3m2，所以线段MN垂直平分线的方程为y－3m2＝－(x－m2)，即x＋y－2m＝0，第39页高考调研·新课标·数学选修2-1与坐标轴的交点分别为(0，2m)，(2m，0)，可得12|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±2，此时(*)的判别式Δ0，故直线l的方程为y＝x±2.请做：课时作业（十六）