专题训练(一) 巧用旋转进行计算或证明

九年级数学下册（沪科版）第二十四章圆专题训练(一)巧用旋转进行计算或证明一、通过旋转计算角度1．(2015·德州)如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为(C)A．35°B．40°C．50°D．65°2．(2015·曲靖)如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是(C)A．15°B．20°C.25°D．30°3．(2015·天津)如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为(C)A．130°B．150°C．160°D．170°4．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)，若∠1＝110°，则∠α＝__20°__．5．(2015·梧州)如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，求∠ACC′的度数．解：∵∠A＝70°，AC＝BC，∴∠BCA＝40°，根据旋转的性质，AB＝BA′，BC＝BC′，∴∠α＝180°－2×70°＝40°，∵∠CBC′＝∠α＝40°，∴∠BCC′＝70°，∴∠ACC′＝∠ACB＋∠BCC′＝110°二、通过旋转计算线段长度6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，现将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC，使点E恰巧落在AB上，连接BF，则BF的长度为(A)A.3B．2C．1D.27．(2015·扬州)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点，连接AF，则AF＝__5__．8．(2015·福州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，求BM的长．解：如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM＝CM，∴∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝2＝CM＝2，∴AB＝BC，CM＝AM，∴BM垂直平分AC，∴BO＝12AC＝1，OM＝CM·sin60°＝3，∴BM＝BO＋OM＝1＋3三、利用旋转计算面积9．(2015·枣庄)如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是(D)A.34B.716C.2－12D.2－110．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝4cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为__42__cm2.11.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE.若AB＝2，DC＝4，求△ABE的面积．解：过点B作BG⊥DC于点G，过点E作EF⊥AB与AB的延长线交于点F，∵∠BAD＝∠D＝∠DGB＝90°，∴四边形ABGD是矩形，∴DG＝AB＝2，∴CG＝DC－DG＝4－2＝2，∵∠CBG＋∠CBF＝90°，∴∠EBF＋∠CBF＝90°，∴∠CBG＝∠EBF，在△BCG与△BEF中，∠CBG＝∠EBF，∠CGB＝∠EFB＝90°，BC＝BE，∴△BCG≌△BEF，∴CG＝EF＝2，∴S△ABE＝12AB·EF＝2四、利用旋转进行证明12．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．解：(1)证明：由旋转可知，AB＝AF，∠BAM＝∠FAN，在△ABM和△AFN中，∠FAN＝∠BAM，AB＝AF，∠B＝∠F∴△ABM≌△AFN(ASA)，∴AM＝AN(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP，∵∠α＝30°，∴∠FAN＝30°，∴∠FAB＝120°，∵∠B＝60°，∴∠B＋∠FAB＝180°，∴AF∥BP，∴∠F、∠FPC＝60°，∴∠FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，又∵AB＝AF，∴平行四边形ABPF是菱形13．将一副三角尺(在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°)如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.(1)求∠ADE的度数；(2)如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜60°)，此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断PMCN的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PMCN的值；反之，请说明理由．解：(1)∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝12AB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠ADC＝180°－30°×2＝120°，∴∠ADE＝∠ADC－∠EDF＝120°－90°＝30°(2)∵∠EDF＝90°，∴∠PDM＋∠E′DF＝∠CDN＋∠E′DF＝90°，∴∠PDM＝∠CDN，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD＝60°，∵∠CPD＝∠A＋∠ADE＝30°＋30°＝60°，∴∠CPD＝∠BCD，在△DPM和△DCNK，∠PDM＝∠CDN，∠CPD＝∠BCD，∴△DPM∽△DCN，∴PMCN＝PDCD，∵PDCD＝tan∠ACD＝tan30°＝33，∴PMCN的值不随着α的变化而变化，是定值33