2017年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)答案

2017年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1.设()fx是定义在R上的函数，对任意实数x有(3)(4)1fxfx．又当07x时，2()log(9)fxx，则(100)f的值为．答案：12−．解：由条件知，1(14)()(7)fxfxfx，所以2111(100)(100147)(2)(5)log42ffff．2.若实数,xy满足22cos1xy，则cosxy的取值范围是．答案：[1,31]．解：由于，故．由可知，．因此当时，有最小值（这时y可以取）；当时，有最大值（这时y可以取）．由于21(1)12x的值域是[1,31]，从而cosxy的取值范围是[1,31]．3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为221910xy，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为．答案：3112．解：易知(3,0),(0,1)AF．设P的坐标是(3cos,10sin),0,2，则311sin()2．其中．当时，四边形OAPF面积的最大值为3112．14.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是．答案：75．解：考虑平稳数abc．若0b，则1,{0,1}ac，有2个平稳数．若1b，则{1,2},{0,1,2}ac，有236个平稳数．若28b，则,{1,,1}acbbb，有73363个平稳数．若9b，则,{8,9}ac，有224个平稳数．综上可知，平稳数的个数是2663475．5.正三棱锥PABC−中，1,2ABAP，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面α所成角的余弦值为．答案：3510．解：设,ABPC的中点分别为,KM，则易证平面ABM就是平面．由中线长公式知，所以222315222KMAMAK．又易知直线PC在平面上的射影是直线MK，而31,2CMKC，所以，故棱PC与平面所成角的余弦值为3510．6.在平面直角坐标系xOy中，点集(,)|,1,0,1Kxyxy．在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为．答案：47．解：易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为39C84种．将K中的点按右图标记为128,,,,AAAO，其中有8对点之间的距离为5．由对称性，考虑取14,AA两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7856个三点组（不计每组中三点的次序）．对每个(1,2,,8)iAi，K中恰有35,iiAA两点与之距离为5（这里下标按模8理解），因而恰有35{,,}(1,2,,8)iiiAAAi这8个三点组被计了两次．从而满足条件的三点组个数为56848，进而所求概率为484847．xyA2A3A1A7A6A5OA8A427.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．若3A，ABC的面积为3，则AMAN的最小值为．答案：．解：由条件知，，，故．由于133sin24ABCSABACAABAC，所以，进一步可得，从而．当442,233ABAC时，的最小值为．8.设两个严格递增的正整数数列{}na，{}nb满足：10102017ab，对任意正整数n，有211,2nnnnnaaabb，则11ab的所有可能值为．答案：13,20．解：由条件可知：121,,aab均为正整数，且．由于，故．反复运用{}na的递推关系知，因此1101011215122(mod34)aabbb，而，故有．①另一方面，注意到，有，故．②当时，①，②分别化为，无解．当时，①，②分别化为，得到唯一的正整数，此时．当时，①，②分别化为，得到唯一的正整数，此时．综上所述，11ab的所有可能值为13,20．3二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设,km为实数，不等式21xkxm−−≤对所有[,]xab成立．证明：22ba．证明：令2()fxxkxm，[,]xab，则()[1,1]fx．于是2()1faakam，①2()1fbbkbm，②21222abababfkm．③………………4分由①②2③知，2()()()2422ababfafbf=，故22ba．………………16分10.（本题满分20分）设123,,xxx是非负实数，满足1231xxx++=，求231231(35)()35xxxxxx++++的最小值和最大值．解：由柯西不等式2232312311123(35)()(35)3535xxxxxxxxxxxx++++≥⋅+⋅+⋅2123()1xxx=++=，当1231,0,0xxx===时不等式等号成立，故欲求的最小值为1．………………5分因为23212311231315(35)()(35)(5)3553xxxxxxxxxxxx++++=++++2212313115(35)(5)543xxxxxx≤⋅+++++212311466203xxx=++………………10分()212319666205xxx≤++=，当12311,0,22xxx===时不等式等号成立，故欲求的最大值为95．………20分11.（本题满分20分）设复数12,zz满足12Re()0,Re()0zz，且2212Re()Re()2zz（其中Re()z表示复数z的实部）．(1)求12Re()zz的最小值；(2)求121222zzzz的最小值．4解：(1)对1,2k，设i(,)kkkkkzxyxyR．由条件知222Re()0,Re()2kkkkkxzxyz．因此1211221212Re()Re((i)(i))zzxyxyxxyy221212(2)(2)yyyy121222yyyy．又当122zz时，12Re()2zz．这表明，12Re()zz的最小值为2．………………5分(2)对1,2k，将kz对应到平面直角坐标系xOy中的点(,)kkkPxy，记2P是2P关于x轴的对称点，则12,PP均位于双曲线22:2Cxy的右支上．设12,FF分别是C的左、右焦点，易知12(2,0),(2,0)FF．根据双曲线的定义，有1112212222,22PFPFPFPF，进而得121212122222zzzzzzzz1121121222124242PFPFPPPFPFPP，………………15分等号成立当且仅当2F位于线段12PP上（例如，当1222izz时，2F恰是12PP的中点）．综上可知，121222zzzz的最小值为42．…………20分5