2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(A卷)

2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1.设)(xf是定义在R上的函数，对任意实数x有1)4()3(xfxf.又当70x时，)9(log)(2xxf，则)100(f的值为__________.2.若实数yx,满足1cos22yx，则yxcos的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为1109:22yx，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABCP中，1AB，2AP，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy中，点集1,0,1,),(yxyxK.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若3A，ABC的面积为3，则ANAM的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列nnba,满足：20171010ba，对任意正整数n，有nnnaaa12，nnbb21，则11ba的所有可能值为__________.二、解答题9.设mk,为实数，不等式12mkxx对所有bax,成立.证明：22ab.10.设321,,xxx是非负实数，满足1321xxx，求)53)(53(321321xxxxxx的最小值和最大值.11.设复数21,zz满足0)Re(1z，0)Re(2z，且2)Re()Re(2221zz（其中)Re(z表示复数z的实部）.（1）求)Re(21zz的最小值；（2）求212122zzzz的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试一.如图，在ABC中，ACAB，I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆1，以I为圆心，IB为半径作圆2，过点IB,的圆3与1,2分别交于点QP,（不同于点B）.设IP与BQ交于点R.证明：CRBR二.设数列na定义为11a，,2,1,,,,1nnanananaannnnn.求满足20173rar的正整数r的个数.三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设nm,均是大于1的整数，nm，naaa,,,21是n个不超过m的互不相同的正整数，且naaa,,,21互素.证明：对任意实数x，均存在一个)1(nii，使得xmmxai)1(2，这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.