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9.2与圆有关的位置关系考点聚焦考点1点和圆的位置关系如果圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆外⇔________点在圆上⇔________点在圆内⇔________drd＝rdr考点2确定圆的条件确定圆的条件不在同一直线的三个点确定一个圆三角形的外心三角形三边__________________的交点，即三角形外接圆的圆心防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部垂直平分线考点3直线和圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交⇔________(2)直线l和⊙O相切⇔________(3)直线l和⊙O相离⇔________drd＝rdr考点4圆和圆的位置关系设⊙O1，⊙O2的半径分别为R，r(Rr)，圆心之间的距离为d，那么⊙O1和⊙O2外离⇔________外切⇔________相交⇔________________内切⇔________两圆内含⇔________dR＋rd＝R＋rR－rdR＋rd＝R－rdR－r考点5相交两圆的性质性质(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦(2)两圆相交时的图形是轴对称图形点拨解有关两圆相交问题时，常常要作出连心线，公共弦，或者连接交点与圆心，从而把两圆的半径，公共弦的一半，连心线等集中在同一个三角形中，利用三角形的知识加以解决考点6相切两圆的性质相切两圆的性质如果两圆相切，那么两圆的连心线经过________两圆相切时的图形是轴对称图形，通过两圆圆心的直线(连心线)是它的对称轴切点归类探究探究一确定圆的条件命题角度：1.点与圆的位置关系；2.确定圆的圆心、半径；3.三角形的外接圆的概念和性质．例1[2012·资阳]直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．10或8解析直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12时，则直角三角形的斜边长＝＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.162＋122方法点析(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．(2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．命题角度：1.定义法判别直线和圆的位置关系；2.d，r比较法判别直线和圆的位置关系．例2[2013·南州]Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为()A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm探究二直线和圆的位置关系的判别B解析r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，由勾股定理，得AB2＝32＋42＝25，∴AB＝5.过点C作CD⊥AB于点D，∵AB是⊙C的切线，∴CD＝r.∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·r，∴r＝2.4cm.方法点析在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法．探究三圆和圆的位置关系的判别命题角度：1.根据两圆的公共点的个数确定；2.根据两圆的圆心距与半径的数量关系确定．例3[2012·南充]如图28－1，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1，点P(a，0)，⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为()A．3B．1C．1，3D．±1，±3D图28－1方法点析在判断圆和圆的位置关系的时候，可以根据两圆的公共点的个数确定，也可以结合圆心距和半径的关系来判定．解析应分两个圆相内切和相外切两种情况进行讨论，求得P到O的距离，即可得到a的值．当两个圆外切时，圆心距d＝1＋2＝3，即P到O的距离是3，则a＝±3.当两圆相内切时，圆心距d＝2－1＝1，即P到O的距离是1，则a＝±1.故a＝±1或±3.故选D.探究四和相交两圆有关的计算命题角度：和勾股定理有关的计算．例4[2013·娄底]如图28－2，⊙O1，⊙O2相交于A，B两点，两圆的半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为()A．4.8cmB．9.6cmC．5.6cmD．9.4cm图28－2B解析如图，连接AO1，AO2，设AB与O1O2交于点C.∵⊙O1，⊙O2相交于A，B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，∴O1O2⊥AB，∴AC＝12AB.设O1C＝x，则O2C＝10－x，∴62－x2＝82－(10－x)2，解得x＝3.6，∴AC2＝62－x2＝36－3.62＝23.04，∴AC＝4.8cm，∴弦AB的长为9.6cm.故选B.探究五和相切两圆有关的计算命题角度：两圆相切的简单应用．例5[2013·恩施](1)计算：如图28－3①，直径为a的三等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，切点分别为A，B，C，求O1A的长(用含a的代数式表示)；①图28－3(2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图28－3②所示的方案一和如图28－3③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和h′n(用含n，a的代数式表示)；(3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管．(3≈1.73)解：(1)∵⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，∴O1O2＝O2O3＝O1O3＝a.又∵O2A＝O3A，∴O1A⊥O2O3，∴O1A＝a2－14a2＝32a.(2)hn＝na，hn′＝32(n－1)a＋a.(3)方案二装运钢管最多．即：按题图③的方式排放钢管，放置根数最多．根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，…，设钢管的放置层数为n，可得32(n－1)×0.1＋0.1≤3.1，解得n≤35.7.∵n为正整数，∴n＝35.∴钢管放置的最多根数为31×18＋30×17＝1068(根)．“圆和圆的位置关系”一题定中考教材母题回归教材⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，如果O1O2满足下列条件，⊙O1和⊙O2各有什么位置关系？(1)O1O2＝8cm；(2)O1O2＝7cm；(3)O1O2＝5cm；(4)O1O2＝1cm；(5)O1O2＝0.5cm；(6)O1和O2重合．[点析]根据圆心距d与两圆的半径的和、差的大小来判断两圆的位置关系．解(1)相离；(2)外切；(3)相交；(4)内切；(5)内含；(6)内含(同心)．中考预测1．已知⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根，若圆心距O1O2＝5，则⊙O1和⊙O2的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切B2．如图28－4，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是()A．6cmB．3cmC．2cmD．0.5cm图28－4D