高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

1函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。（2）方程0)(xf有实根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点（3）变号零点与不变号零点①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0)()(bfaf是()fx在区间,ab内有零点的充分不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数)(xfy在区间,ab内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。（2）函数)(xfy零点个数（或方程0)(xf实数根的个数）确定方法①代数法：函数)(xfy的零点0)(xf的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。（3）零点个数确定0)(xfy有2个零点0)(xf有两个不等实根；0)(xfy有1个零点0)(xf有两个相等实根；0)(xfy无零点0)(xf无实根；对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定.1、二分法（1）二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤:①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度;②求区间(,)ab的中点c;2③计算()fc;(ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点;(ⅱ)若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb);④判断是否达到精确度,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.【经典例题】1．函数3()=2+2xfxx在区间(0,1)内的零点个数是（）A、0B、1C、2D、32．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A、(－2，－1)B、(－1,0)C、(0,1)D、(1,2)3．若函数)(xfxaxa(0a且1a)有两个零点，则实数a的取值范围是.4．设函数f(x)()xR满足f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)，且当[0,1]x时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos()x|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在13[,]22上的零点个数为（）A、5B、6C、7D、85．函数2()cosfxxx在区间[0,4]上的零点个数为（）A、4B、5C、6D、76．函数()cosfxxx在[0,)内（）A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点7．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝a，a－b≤1，b，a－b1.设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A、(－∞，－2]∪－1，32B、(－∞，－2]∪－1，－34C、－1，14∪14，＋∞D、－1，－34∪14，＋∞8．已知函数fx（）=log(0a1).axxba＞，且当2＜a＜3＜b＜4时，函数fx（）的零点*0(,1),,n=xnnnN则.9．求下列函数的零点：（1）32()22fxxxx；（2）4()fxxx.310．判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．【课堂练习】1、在下列区间中，函数()43xfxex的零点所在的区间为（）A、1(,0)4B、1(0,)4C、11(,)42D、13(,)242、若0x是方程lg2xx的解，则0x属于区间（）A、(0,1)B、(1,1.25)C、(1.25,1.75)D、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是()4、函数fx=2x+3x的零点所在的一个区间是（）A．（-2,-1）B、（-1，0）C、（0，1）D、（1，2）5、设函数fx=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数fx不存在零点的是（）A、[-4,-2]B、[-2,0]C、[0,2]D、[2,4]6、函数xf=x-cosx在[0，﹚内（）A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点7、若函数()fx的零点与()422xgxx的零点之差的绝对值不超过0.25，则()fx可以是（）A、()41fxxB、2()(1)fxxC、()1xfxeD、1()ln()2fxx8、下列函数零点不宜用二分法的是()A、3()8fxxB、()ln3fxxC、2()222fxxxD、2()41fxxx9、函数f(x)=log2x+2x-1的零点必落在区间（）4A、41,81B、21,41C、1,21D、(1,2)10、01lgxx有解的区域是（）A、(0,1]B、(1,10]C、(10,100]D、(100,)11、在下列区间中，函数()e43xfxx的零点所在的区间为（）A、1(,0)4B、1(0,)4C、11(,)42D、13(,)2412、函数2()logfxxx的零点所在区间为（）A、1[0,]8B、11[,]84C、11[,]42D、1[,1]213、设833xxfx,用二分法求方程2,10833xxx在内近似解的过程中得,025.1,05.1,01fff则方程的根落在区间（）A、(1,1.25)B、(1.25,1.5)C、(1.5,2)D、不能确定14、设函数()4sin(21)fxxx，则在下列区间中函数()fx不．存在零点的是（）A、4,2B、2,0C、0,2D、2,415、函数223,0()2ln,0xxxfxxx，零点个数为（）A、3B、2C、1D、016、若函数32()22fxxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=－2f(1.5)=0.625f(1.25)=－0.984f(1.375)=－0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=－0.054那么方程32220xxx的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.517、方程223xx的实数解的个数为.18、已知函数22()(1)2fxxaxa的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围。19、判断函数232()43fxxxx在区间[1,1]上零点的个数，并说明理由。20、求函数32()236fxxxx的一个正数零点(精确度0.1)．5【课后作业】1、下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()2、设2()3xfxx，则在下列区间中，使函数)(xf有零点的区间是()A、[0,1]B、[1,2]C、[－2，－1]D、[－1,0]3、已知)(xf唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（）A、函数)(xf在(1,2)或2,3内有零点B、函数)(xf在(3,5)内无零点C、函数)(xf在(2,5)内有零点D、函数)(xf在(2,4)内不一定有零点4、若函数3()3fxxxa有3个不同的零点,则实数a的取值范围是（）A、2,2B、2,2C、,1D、1,5、函数xxxfln)(的零点所在的区间为（）A、（－1，0）B、（0，1）C、（1，2）D、（1，e）6、求函数132)(3xxxf零点的个数为（）A、1B、2C、3D、47、如果二次函数23yxxm有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A、11(,)4B、11(,)2C、11(,)4D、11(,)28、方程0lgxx根的个数为（）A、无穷多B、3C、1D、09、用二分法求方程()0fx在(1,2)内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0ffff(1)0，则方程的根在区间()A、(1.25,1.5)B、(1,1.25)C、(1.5,2)D、不能确定10、设函数f(x)＝13x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)()A、在区间1e，1，(1，e)内均有零点B、在区间1e，1，(1，e)内均无零点C、在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D、在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点611、设函数21()ln1(0)2fxxxx，则函数()yfx()A、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点B、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点D、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点12、用二分法研究函数13)(3xxxf的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(ff，，可得其中一个零点0x，第二次应计算.以上横线上应填的内容为()A、（0，0.5），)25.0(fB、（0，1），)25.0(fC、（0.5，1），)75.0(fD、（0，0.5），)125.0(f13、函数22)(3xxfx在区间(0,1)内的零点个数是（）A、0B、1C、2D、314、（已知函数()log(0,1).afxxxbaa且当234a是，函数()fx的零点*0(,1),,xnnnN则n=.15、用二分法求函数()yfx在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0∈________．16、已知函数f(x)＝{2x－1，x0，－x2－2x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．17、函数65)(2xxxf的零点组成的集合是.18、用“二分法”求方程0523xx在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20x，那么下一个有根的区间是19、函数()ln2fxxx的零点个数为.20、证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．函数与方程【考纲说明】2、了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。3、能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。7（2）方程0)(xf有实根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点（3）变号零点与不变号零点①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称