4.2-微积分基本定理-课件(北师大选修2-2)

第四章§2理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三已知函数f(x)＝x，F(x)＝12x2.问题1：f(x)和F(x)有何关系？提示：F′(x)＝f(x)．问题2：利用定积分的几何意义求12xdx的值．提示：∫21xdx＝32.问题3：求F(2)－F(1)的值．提示：F(2)－F(1)＝12×22－12×12＝32.问题4：你得出什么结论？提示：12f(x)dx＝F(2)－F(1)，且F′(x)＝f(x)．问题5：由12f(x)dx与F(2)－F(1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：abf(x)dx＝F(b)－F(a),其中F′(x)＝f(x)．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有∫bafxdx＝F(b)－F(a)定理中的式子称为，通常称F(x)是f(x)的一个．牛顿—莱布尼茨公式原函数在计算定积分时，常常用记号F(x)|ba来表示F(b)－F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝．F(b)－F(a)微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[例1]计算下列各定积分：(1)∫10(2x＋3)dx；(2)∫0－π(cosx＋ex)dx；(3)∫31(2x－1x2)dx.[思路点拨]先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析](1)∵(x2＋3x)′＝2x＋3，∴∫10(2x＋3)dx＝(x2＋3x)|10＝1＋3＝4.(2)∵(sinx＋ex)′＝cosx＋ex，∴∫0－π(cosx＋ex)dx＝(sinx＋ex)|0－π＝1－e－π.(3)∵x2＋1x′＝2x－1x2，∴∫312x－1x2dx＝x2＋1x|31＝7＋13＝223.[一点通]应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导函数F′(x)＝f(x)为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1.1e1xdx＝________.解析：1e1xdx＝lne－ln1＝1.答案：12．求下列函数的定积分：(1)∫21(x2＋2x＋3)dx；(2)∫π0(sinx－cosx)dx；(3)∫21x＋1xdx.解：(1)∫21(x2＋2x＋3)dx＝∫21x2dx＋∫212xdx＋∫213dx＝x33|21＋x2|21＋3x|21＝253.(2)∫π0(sinx－cosx)dx＝∫π0sinxdx－∫π0cosxdx＝(－cosx)|π0－sinx|π0＝2.(3)∫21x＋1xdx＝∫21xdx＋∫211xdx＝12x2|21＋lnx|21＝12×22－12×12＋ln2－ln1＝32＋ln2.3．求下列定积分：(1)sin2x2dx；(2)23(2－x2)·(3－x)dx.20解：(1)sin2x2＝1－cosx2，而12x－12sinx′＝12－12cosx，∴sin2x2dx＝12－12cosxdx＝12x－12sinx＝π4－12＝π－24.202020(2)原式＝23(6－2x－3x2＋x3)dx＝6x－x2－x3＋14x4|32＝6×3－32－33＋14×34－6×2－22－23＋14×24＝－74.[例2]已知函数f(x)＝sinx，0≤x≤π2，1，π2x2，x－1，2≤x≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨]按f(x)的分段标准，分成0，π2，π2，2，[2,4]三段积分求和．[精解详析]图像如图．04f(x)dx＝sinxdx＋1dx＋24(x－1)dx＝(－cosx)＋x＋12x2－x|42＝1＋2－π2＋(4－0)＝7－π2.20222022[一点通](1)分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．4.∫4－2|x|dx＝________.解析：∫4－2|x|dx＝∫40xdx＋∫0－2(－x)dx＝12x2|40＋－12x2|0－2＝8＋2＝10.答案：105．已知F(x)＝sinx－1，x≤0，x2，x0，求定积分∫1－1F(x)dx.解：∫1－1F(x)dx＝∫0－1(sinx－1)dx＋∫10x2dx＝(－cosx－x)|0－1＋13x3|10＝cos1－53.[例3]已知函数f(x)＝∫x0(at2＋bt＋1)dt为奇函数，且f(1)－f(－1)＝13，试求a，b的值．[精解详析]f(x)＝∫x0(at2＋bt＋1)dt＝a3t3＋b2t2＋t|x0＝a3x3＋b2x2＋x.∵f(x)为奇函数，∴b2＝0，即b＝0.又∵f(1)－f(－1)＝13，∴a3＋1＋a3＋1＝13.∴a＝－52.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x时，定积分为x的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若∫10(k－2x)dx＝2012，则k＝________.解析：∫10(k－2x)dx＝(kx－x2)10＝k－1＝2012，∴k＝2013.答案：20137．已知函数f(a)＝∫a0sinxdx，则f(π2)＝________.解析：f(a)＝∫a0sinxdx＝－cosx|a0＝－cosa＋1，∴fπ2＝1.答案：18．已知f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)，且01f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则4＝3a＋b，又01f(x)dx＝01(ax＋b)dx＝12ax2＋bx|10＝a2＋b＝1，所以a＝65，b＝25，即f(x)＝65x＋25.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．