因式分解方法总结

因式分解方法总结一、定义定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.二、因式分解三原则1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2．最后结果只有小括号3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：23(31)xxxx）三、基本方法（一）提公因式法()mambmcmabc如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取次数最低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式.（5）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“-”号时，多项式的各项都要变号.口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.例如：()ambmcmmabc()()()()()()axybyxaxybxyabxy注意：把122a变成12()4a不叫提公因式.例1、分解因式322xxx（2003年淮安市中考题）解：3222(21)xxxxxx例2、39999能被100整除吗？还能被那些数整除?（二）公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.1、平方差公式：22()()ababab2、完全平方公式：2222()aabbab3、立方和公式：3322()()ababaabb4、立方差公式：3322()()ababaabb5、2222222()abcabbccaabc6、完全立方公式：3223333()aababbab7、3332223()()abcabcabcabcabbcca例3、分解因式2244aabb（2003年南通市中考题）解：22244(2)aabbab例4、已知,,abc是ABC的三边，且222abcabbcca，则ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解：222222222222abcabbccaabcabbcca222()()()0abbccaabc（三）分组分解法能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法、三一分法.1.分组后能直接提取公因式.例5、分解因式amanbmbn.解：原式=)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式！=))((banm例6、分解因式bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba练习：分解因式（1）bcacaba2（2）1yxxy2.分组后能直接运用公式例7、分解因式：ayaxyx22解：原式=)()(22ayaxyx=)())((yxayxyx=))((ayxyx例8、分解因式：2222cbaba解：原式=222)2(cbaba=22)(cba=))((cbacba练习：分解因式（1）yyxx3922（2）yzzyx2222（四）十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中1.二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和例9、分解因式：652xx分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5.12解：652xx=32)32(2xx13=)3)(2(xx1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.例10、分解因式：672xx解：原式=)6)(1()]6()1[(2xx1-1=)6)(1(xx1-6（-1）+（-6）=-7练习、分解因式(1)24142xx(2)36152aa(3)542xx练习、分解因式(1)22xx(2)1522yy(3)24102xx2.二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2条件：（1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=))((2211cxacxa例11、分解因式：101132xx分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：101132xx=)53)(2(xx练习、分解因式（1）6752xx（2）2732xx（3）317102xx（4）101162yy3.二次项系数为1的齐次多项式例12、分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：221288baba=)16(8)]16(8[2bbabba=)16)(8(baba练习、分解因式(1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba4.二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672yxyx例10、2322xyyx1-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy练习、分解因式：（1）224715yxyx（2）8622axxa思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222（五）换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.例11、分解因式22(1)(2)12xxxx解：令2yxx则原式(1)(2)12yy2310yy(5)(2)yy22(5)(2)xxxx2(5)(2)(1)xxxx例12、分解因式（1）2005)12005(200522xx（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx解：（1）设2005=a，则原式=axaax)1(22=))(1(axax=)2005)(12005(xx（2）型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.原式=222)65)(67(xxxxx设Axx652，则xAxx2672∴原式=2)2(xAxA=222xAxA=2)(xA=22)66(xx练习、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx（2）90)384)(23(22xxxx（3）222222)3(4)5()1(aaa（六）拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例13、分解因式()()()bcbccacaabab解：原式()()()bccaabcacaabab()()()()bccabcabcacaabab()()()()bccacacabcababab()()()()bccacabcabab()()()()ccababcaab()()()cbcaba（七）配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、添项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.例14、分解因式243xx解：原式224443(2)1(21)(21)(3)(1)xxxxxxx（八）主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例15、分解因式222()()()abcbcacab解：原式22222()()()abcabcbccb2()[()]bcaabcbc()()()bcabac（九）特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.例16、分解因式3292315xxx解：令2x，则32923158364615105xxx将105分解成3个质因数的积，即105357注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值则3292315(1)(3)(5)xxxxxx（十）待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.例17、分解因式432564xxxx解：由分析知，这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式于是设43222564()()xxxxxaxbxcxd432()()()xacxacbdxadbcxbd所以1ac5acbd6adbc4bd解得1a，1b，2c，4d所以43222564(1)(24)xxxxxxxx例18、分解因式613622yxyxyx分析：原式的前3项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx∵)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622∴613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm∴原式=)32)(23(yxyx例19、（1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba的值.（1）分析：前两项可以分解为))((yxyx，故此多项式分解的形式必为))((byxayx解：设6522ymxyx=))((byxayx则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22比较对应的系数可得：65ababmba，解得：132mba或132mba∴当1m时，原多项式可以分解；当1m时，原式=)3)(2(yxyx；当1m时，原式=)3)(2(yxyx（2）分析：823bxaxx是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如cx的一次二项式。解：设823