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1磁流体力学1.1流体力学1.1.1近似与性质平均自由程 特征长度L平均碰撞时间 特征时间性质：易流动性，粘性，不可压缩性1.1.2流体运动的两种描述1.拉氏：~r=~r(t;a;b;c)，a;b;c为拉氏变数着眼点：流体元；流线：流体元的轨迹。2.欧拉：~u=~u(t;x;y;z)；着眼点：空间坐标流线：流场中存在一些曲线，t时刻曲线上任何一点的切线方向与该点流体的速度速度方向相同，这种曲线称为流线。dxux=dyuy=dzuz=0流线方程d~udx;d~udy;d~udz=0均匀场d~udt=0定常场，此时流线迹线重合ddt=@@t+~ur随体微商=当地微商+迁移微商性质：流线互不相交；流管内外流线不会穿越流管1.1.3应力张量~Pn=^n!P;^n=( ^ex+ ^ey+^ez)!P为应力张量理想流体：!P= P!I= p000 p000 p粘滞流体：!P=2!S (p+23r~u 0r~u)!I其中，!S=@ux@x12(@ux@x+@ux@y)12(@uz@x+@ux@z)12(@uy@x+@ux@y)@uy@y12(@uz@y+@uy@z)12(@uz@x+@ux@z)12(@uz@y+@uy@z)@uz@z1.1.4流体力学基本方程1.连续性方程@@td = ~ud~@@t+r(~u)=0不可压缩条件ddt+r~u=0r~u=02.运动方程(d~udt)d =~gd +~Pndd~udt=~g+r!Pd~udt+(~ur)~u=~g+r!P对理想流体有r!P= rp，故有d~udt=~g rp假如为粘滞流体，有d~udt=~g rp+(3+0)r(r~u)+~u3.能量方程ddt(+~u22)d =~g~ud +~Pn~ud ~q~nd右边=~g~ud +r(~u!P)d (r~q)d @@t(+~u22)+r[~u(+~u22)]=~g~u+r(!P~u) r~qddt(+~u22)=~g~u+r(!P~u) r~q1.2磁流体力学1.2.1动理论矩方程Boltzmann方程:@f@t+ !v@f@ !r+qm( !E+ !v !B)@f@ !v=(@f@t)c零阶矩：n(t; !r)=f(t; !r; !v)d !v,粒子数密度一阶矩：m !u=mnf(t; !r; !v) !vd !v,粒子宏观速度二阶矩:!P=mf(t; !r; !v)( !v !u)( !v !u)d !v压强张量三阶矩: !q=m2f(t; !r; !v)( !v !u)( !v !u)2d !v热流矢量 !c= !v !u, !c为粒子无规运动速度，h !ci=0定义h (t; !r; !v)i=1n (t; !r; !v)f(t; !r; !v)d !v @f@td !v＝@@t[nh i] nD@ @tE !v@f@ !rd !v=@@ !r[nh !vi] nD@ @ !r !vE !a@f@td !v= nD !a@ @ !vE1.2.2等离子体宏观方程（单液体描述）1.连续性方程（令 (t; !r; !v)=1）@n@t+r(n !u)=02.运动方程（令 ! (t; !r; !v)=m !v）@@t[nh i]=@@t[nhm !vi]=@@t(mn !u)h !v !vi=!Pmn+ !u !u=)@@ !r[nh !vm !vi]=r(!P+mn !u !u)@(m !v)@ !v=m!I;h !ai=qm( !E+ !u !B)=) nD !a@ @ !vE= nmh !ai= nq( !E+ !u !B)m !v(@f@t)cd !v= !Rm@(n !u)@t+r!P+mnr( !u !u) nq( !E+ !u !B)= !Rr( !u !u)=(r !u) !u+( !ur) !u3.能量方程（令 (t; !r; !v)=12mv2）32nT=12mnc2 mv22@f@td !v=32nT+12mnu2mv22 !v !vd !v=r[ !q+!P !u+32nT+12mnu2 !u]mv22qm( !E+ !v !B)@f@ !vd !v= !E !jmv22(@f@t)cd !v=Q32ndTdt+12mndu2dt+r !u+r !q r(! !u) !j !E=Q1.2.3双流体描述@n @t+r(n ~u )=0m n (@~u @t+~u r~u )= rp +r! +q n (~E+~u ~B)+~R m n ddt( +12u2 )+rp ~u +r~q r(! ~u) ~j ~E=Q Maxwell方程组：r~E=1 ∑ n q r~E= @~B@tr~B=0r~B=@~E@t+ ∑ n q ~u 1状态方程：p =const:(@~u@t+~ur~u)=q~E+~j~B r!P;!P=!Pi+!Pe~Ri=mi~i(@fi@t)cd~vi=einimemime+mi(~ue ~ui)1.2.4广义欧姆定律假定：1.理想气体!=02.电中性ne=ni=n3.局部热平衡4.含me/mi的项可忽略emi~Ri eme~Re= e(1mi+1me)~Re= eien(~ui ~ue)= ~j@~j@t+r(~u~j+~j~u)=e2memi(~E+~u~B) mi mememie~j~B emer(memii e) ~j~E+~u~B+1ne(rPe+~j~B) ~j=mene2@~j@t;=2mene21、2Lorentz力；3热压力；4Hall电动力；5电阻效应各项比：1:1:(!!ci)(CsU)2:(!!p)(!ce!p)(CU)2:(!!p)(ei!ci)(CU)2:(!!p)2(CU)2其中，C光速；U!L特征速度；L特征长度；T1!特征时间；!ci=eBmi;!ce=eBme回旋频率；!p=(nie2me0)12等体频率；Cs=√p声速。!!p UC，@~j@t可以忽略!!ce!2p U2C2，~j~B可忽略：~E+~u~B=~j!!ci U2C2s，rpe可忽略：~j=(~E+~u~B)1.3磁压力和磁张力磁场作用力~f=~j~B= 120rB2+10r(~B~B)=r(10~B~B B220!I)=r!T!T=10(~B~B 12B2!I)~F=~fd =!Td~=10~B(~B^n)d+( B220^n)d1.4磁场的描述1.4.1力线方程：d~ldl=~BB直角坐标：dxBx=dyBy=dzBz柱坐标：drBr=rdB=dzBz环坐标：drBr=rdB=Rd B 1.4.2磁力线的标量场表示法~B=r r =r 0r 0@( 0; 0)@( ; )=J=1,( ; )!( 0; 0)等面积变换1.4.3轴对称下的磁面和磁面坐标满足(~r;t)=const:，r~B=0为磁面1.轴对称@@=0r~B=0)1r@(rBr)@r+@Bz@z=0令Bz=1r@@r;Br= 1r@@z~B=1rr^e+B^e2.环形磁场~B=1Rr^e +B ^e BR=12R@@z;Bz=12R@@R~Br =B R;~Br=Brq=~Br ~Br=rB RB，安全因子表示磁力线绕小环一周，需要绕大环的圈数1.5磁冻结和磁扩散磁感应方程：r~E= @~B@t;r~B=~j欧姆定律：~j=(~E+~u~B)@~B@t=r(~u~B)+mr2~B;m=10为磁粘滞系数jr(~u~B)jjmr2~Bjj~u~Bjjmr~BjUBmBL 1=ULm=Rm磁雷诺数1.磁扩散效应(Rm 1)@~B@t=mr2~B m=L2m为趋肤时间，lm=√ 0为趋肤厚度稳态@@t=0r(~u~B)+mr2~B=0,r(~u~B mr~B)=0~u?~B+mr~B=0)~u?=1B20[~B(r~B)]=1B2~B~j运动方程d~udt= rp+~j~B)rp=~j~B~u?= r?pB2= (Ti+Te)r?nB2;=1=ne2miei~u?= D?r?nn;D?=miei(Ti+Te)e2B2磁扩散的本质是电磁感应@Wm@t=@@tB220d =~B0@~B@td = m[r(~j~B)d +(r~B)~jd ]= m(r~B)~jd = 0mj2d = j2d 2.磁冻结效应(Rm 1)@~B@t=r(~u~B);磁冻结方程=~Bd~ddt=limt!01t[2~B(t2)d~ 1~B(t1)d~]=limt!01t[1~B(t2)d~ 1~B(t1)d~] limt!01t c1~B(t2)(d~l~u)t=@@t1~Bd~ c1~B(t2)(d~l~u)=02磁力线冻结在流体中@~B@t=r(~u~B)=(r~B)~u+(~Br)~u (r~u)~Bd~Bdt=(~Br)~u (r~u)~B=(~Br)~u+~Bddtddt(~B)=(~Br)~u;ddt(~r)=(~rr)~u2磁流体力学平衡2.1基本方程平衡方程：rp=~j~B~Brp=~B(~j~B)=0，磁力线在等压面上~jrp=~j(~j~B)=0，电流线在等压面上r(p+B220)=10r(~B~B)=10[~B(^br)B+B2(^br)^b]1.当磁力线是直线时^b=常矢量，r=r?+rk，r?(p+B220)=0)p+B220=常数=B2e20，Be为边界上的磁场平衡要求磁场为“磁阱”结构2.磁力线不是直线，但磁场为轴对称~B=B(r)+Bz(r);(~Br)~B= B2r^er@@r[p+120(B2+B2z)]= B2r0，两边乘1a2a0r2drDp+B2z20E=pa+B2e+B2ze20=const:平衡时的电流rp=~j?~B)~j?= 1B2rp~B@q@t+r~j=0;@@t=0)rk~jk+r?~j?=0d~jkdlk= r?~j?=r(1B2rp~B)=1B2r(rp~B)+r(1B2)(rp~B)=1B2(rrp) 1B2(r~B)rp 1B3rB(rp~B)=2B3rp(rB~B)~B=B0(1 rR0cos)^e'+B^e(rB~B)r=(rB)B'=B20R0sinjk=C+ll02B0R0dpdrsindlkdlk=dlkdd=kB(0)+02B0dpdrsind=kB(2) 2qB0dpdrcos第一项为无力电流，第二项为Pfirsch-Schluter电流2.2一维位型2.2.1几个具体装置1.-Pinch~j=(0;j(r);0);~B=(0;0;Bz(r))r~B=0;r~B=0~j)j= 10@Bz@rrp=~j~B)jBz=dpdr)ddr(p+B2z20)=0;p+B2z20=B2020;B0为r=a处磁场典型情况p=p0e r2a2;Bz=B0(1 0e r2a2)12; 0=20p0B20 (r)=p(r)p(r)+B2z(r)200 1-Pinch是所有磁約束装置中效率最高的缺点：两端开口，等离子体易逃逸， 10s第一个产生核聚变中子的装置2.Z-Pinch~B=(0;B(r);0);~j=(0