大学物理课件英文版-量子力学2 薛定谔方程,电子自旋

1微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达，“波粒二象性”——借用经典语言进行互补性描述。对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾。量子力学包含一套计算规则及对数学程式的物理解释，是建立在基本假设之上的构造性理论，其正确性由实践检验。量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。波函数和薛定谔方程是量子力学的基本假设之一。薛定谔方程及其应用2薛定谔方程及其应用一、一维自由粒子的波动方程)(0),(tkxietxωΨΨ−=由一维自由粒子波函数khphEhh====λων德布罗意关系得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂−=∂∂−=∂∂=−ΨΨΨΨΨΨΨΨ2222)(0),(xxEtxpipxpxiEtietxxhhhh由一维运动自由粒子能量mpEx22=2222xmti∂∂−=∂∂ΨΨhh得量子客体一维运动波动方程推广1：一维势场)(22xVmpEx+=ΨΨΨ)(2222xVxmti+∂∂−=∂∂hh薛定谔方程及其应用3推广2：三维势场)(2222rVmpppEzyx+++=),()](2[),(22trrVmttriΨΨ+∇−=∂∂hh其中2222222zyx∂∂+∂∂+∂∂=∇——拉普拉斯算符二、三维含时薛定谔方程薛定谔方程及其应用三、一维定态薛定谔方程若一维势场中，势能函数不显含时间，则)()(),(tfxtxΨΨ=代入一维薛定谔方程得Eftfi=ddhΨΨΨExVxm=+−)(dd2222h可解得h/)(iEtetf−=薛定谔方程及其应用4概率幅为驻波h/)()()(),(iEtextfxtx−==ΨΨΨ概率密度222)()()(),(),(xtfxtxtxPΨΨΨ===不依赖于时间。薛定谔方程及其应用四、薛定谔方程的应用¾一维无限深势阱在一维刚性壁内运动的粒子的运动状态：vvψ(x)ψ(x)⏐2(a)经典描述(b)量子力学描述(c)概率分布函数™牛顿力学粒子任意时刻有确切的位置、动量和能量。薛定谔方程及其应用5™量子力学粒子波函数具有驻波态，可由薛定谔方程求解。由于粒子被限制在势箱内运动，将势能函数简化为⎩⎨⎧∞=其它情况axxV00)(定态薛定谔方程axx≥≤,0()02dd222=∞−+ψψEmxh①0=ψ（粒子不能逸出势阱）解①得薛定谔方程及其应用0xa02dd222=+ψψEmxh②令222hmEk=得0dd222=+ψψkxkxBkxAxcossin)(+=ψ通解:积分常数00=）（由ψ得B=0kxAxsin)(=ψ0)()0(==aψψ因为于是薛定谔方程及其应用60)(=aψ由得0sin=kaAankπ=)3,2,1(L=n由归一化条件1d||2=∫∞∞−xψ1dsind202*==⋅∫∫∞∞−xaxnAxaπψψ于是：axnaxπψsin2)(=,...)3,2,1(=nxanAxπψsin)(=,...)3,2,1(=naA2=薛定谔方程及其应用Etieaxnatxh−⋅=πΨsin2),()3,2,1(L=n显然该解为驻波形式。™解的物理意义①无限深势阱中粒子的能量量子化ankπ=222hmEk=由得,...)3,2,1(=n1222222222EnmanmkE===hhπ薛定谔方程及其应用7也称零点能。为最小能量1E式中22212maEhπ=Eoan=1n=2n=3n=4,...)3,2,1(=n1222222222EnmanmkE===hhπ能量只能取一系列的分立值：()2221212manEEEnnhπ∆+=−=+↑⇒↑En∆↓⇒↑Ea∆022→⇒Ema∆h回到经典情况，能量连续。薛定谔方程及其应用②粒子在势阱中的概率分布经典：势阱中V=0，粒子匀速直线运动粒子在势阱内各处出现的概率相等量子：波函数Etieaxnatxh−=πΨsin2),(概率密度axnaxtxπψΨ222sin2|)(||),(|==,...)3,2,1(=n波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒子出现的概率不相同。薛定谔方程及其应用8Etieaxnatxh−=πΨsin2),(axnaxtxπψΨ222sin2|)(||),(|==oan=1n=2n=3n=4oan=1n=2n=3n=4x1E124EE=139EE=1416EE=()tx,Ψ()2xΨ薛定谔方程及其应用粒子不能逸出势阱，两端为波节，0||2=Ψ归一化条件，曲线下面积相等阱内各位置粒子出现概率不同，2||Ψ峰值处较大能级越高，驻波波长越短，峰值数增多经典相同，量子→2||Ψoan=1n=2n=3n=4oan=1n=2n=3n=4x1E124EE=139EE=1416EE=()tx,Ψ()2xΨ薛定谔方程及其应用9例1、粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，处于n=1状态，。区间发现该粒子的概率求在4~0a解：axaπΨ22sin2||=)d(sin2240axaxaaaπππ∫=%08.9)2sin412(240=−=aaxaxπππxPad||402∫=Ψxaxaadsin2240π∫=薛定谔方程及其应用¾势垒隧道效应势函数：=)(xV0xx1,xx2210xxxV≤≤代入ΨΨΨExVxm=+−)(dd2222h得02dd222=+ΨΨhmEx(xx1,xx2))(21xxx≤≤0)(2dd222=−+ΨΨVEmxhxEEIIIIIIV=0Ox1x2V=0V=V0薛定谔方程及其应用10x1x2由薛定谔方程，解得三个区域方程的解：区域I(xx1)V=0,解为正弦波)sin(1111ϕΨ+=xkA212hmEk=A1,ϕ1为常量区域II(x1xx2),V=V0,解为指数函数xkeA22−=CΨ202)(2hEVmk−=A2为常量xEEIIIIIIV=0Ox1x2V=0V=V0薛定谔方程及其应用区域Ⅲ(xx2),V=0,解为正弦波212hmEk=A3,ϕ3为常量)sin(313ϕ+=xkAΨΙΙΙ由于区域Ⅱ和Ⅲ的波函数不为零，说明粒子出现在该两个区域的概率不为零，可以证明粒子穿透势垒的概率)()(22)(221200xxEVmdEVmeeP−−−−−==hh薛定谔方程及其应用11例2：已知E=5.1eV,V0=6.8eV，a=750×10-12m，求电子和质子的贯穿系数。解：电子610)(2210450−−−−×===eeTEVmaeh质子186)(220−−−==eeTEVmaph薛定谔方程及其应用¾扫描隧穿显微镜加电压形成隧穿电流——对表面间距异常敏感通过探测物质表面的隧道电流来分辨其表面特征样品表面探针表面由于隧道效应逸出的电子，“电子云”‹STM工作原理薛定谔方程及其应用12扫描隧道显微镜的两种工作模式：™恒高度模式™恒电流模式利用针尖扫描样品的表面，通过高度变化或电流变化获取图像。薛定谔方程及其应用分辨率xy方向0.2nmz方向0.005nm在原子尺度探测①具有原子级高分辨率②在大气压下或真空中均能工作。③无损探测，可获取物质表面的三维图像。④可进行表面结构研究,实现表面纳米()级加工m109−Uz薛定谔方程及其应用13硅表面硅原子的排列碘原子在铂晶体上的吸附氙原子薛定谔方程及其应用1959年：费曼演讲《在底部还有很大的空间》从石器时代开始，人类所有的技术革新都与把物质制成有用的形态有关，从物理学的规律来看，不能排除从单个分子甚至原子出发组装制造物品的可能性……如果有一天可以按人的意志安排一个个原子，将会产生怎样的奇迹？1982年：宾尼西、罗雷尔等发明扫描隧道显微镜，为操作原子提供有力工具。1990年：美国国际商用机器公司（IBM）阿尔马登研究中心科学家把35个氙原子移动到位，组成IBM三个字母，加起来不到3nm。1990年7月第一届国际纳米科学技术会议在美国巴尔的摩召开，纳米科技作为一门学科正式诞生。薛定谔方程及其应用14‹AFM工作原理弥补STM的不足，可用于非导电样品。薛定谔方程及其应用‹AFM装置示意图薛定谔方程及其应用15‹AFM工作模式：™接触模式（静态模式）™非接触模式（动态模式）™轻敲模式原子的操纵：利用扫描探针显微镜（SPM）可以移动和操纵原子。薛定谔方程及其应用通过移走原子构成的图形：薛定谔方程及其应用16小结求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程2.用分离变量法求解3.用归一化条件和标准条件确定积分常数只有E取某些特定值时才有解本征值本征函数4.讨论解的物理意义，即求|Ψ|2，得出粒子在空间的概率分布。薛定谔方程及其应用原子结构的量子理论本节介绍薛定谔方程应用——三维问题要求：思路，重要结论¾氢原子的量子力学处理方法‹建立方程(电子在核的库仑场中运动)代入三维定态薛定谔方程设电子质量m，0)(222=−+∇ψψUEmh0)4(2222=++∇ψπεψreEmoh得+-rreUoπε42−=势函数170)4(2222=++∇ψπεψreEmoh042sin1)(sinsin1)(10222222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂ψπεϕψθθψθθθψreEmrrrrrrh式中2222222zyx∂∂+∂∂+∂∂=∇2222222sin1)(sinsin1)(1ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=rrrrrr-xyzorθϕ+原子结构的量子理论分离变量)()()(),,(ϕΦθΘϕθΨ⋅⋅=rRr设代回原方程化简，得三个常微分方程:)()()(),,(ϕΦθΘϕθΨ⋅⋅=rRr-xyzorθϕ+原子结构的量子理论18定常数）为分离变量过程中的待νλ,(0])4(2[)dd(dd122222=−++RrreEmrRrrroλπεh0)sin()dd(sinddsin12=−+ΘθνλθΘθθθ0dd22=+ΦΦνϕ原子结构的量子理论‹求解过程中为了使波函数满足归一化条件和标准条件，自然引入三个量子数：n,l,ml)()()(),,(,,,,ϕθΘϕθlllmmllnmlnΦrRrΨ⋅⋅=主量子数,...3,2,1=n角量子数1,...2,1,0−=nl可取n个值磁量子数lml±±±=,...2,1,0可取2l+1个值)()(),(,,ϕθΘϕθlllmmlmlΦY⋅=称为角谐函数原子结构的量子理论19zxyOdVθϕrdrrdθdθrsinθdϕrsinθdϕ概率密度22|)()()(|||ϕΦθΘΨ⋅⋅=rRϕθθdddsind2rrV=电子在体积元dV中出现的概率ϕθθΘddsin||d||d||2222ΦrrRVΨ⋅=⋅‹电子的概率分布VΨPd2=体积元?d=V径向概率角向概率原子结构的量子理论(1)径向概率分布：rrrRrPlnd|)(|)(22,=电子在r—r+dr球壳中出现的概率原子结构的量子理论20径向概率分布：电子在离核r不同处，出现的概率不等，某些极大值与玻尔轨道半径，说明玻尔理论只是量子结果不完全的近似。处对应oanr2=原子结构的量子理论(2)角向概率分布ϕθθϕθϕθddsin),(),(2,lmlYP=ϕθθϕθΘddsin)()(2,llmmlΦ⋅=电子在某方向上单位立体角内出现的概率对z轴旋转对称分布omll==012±==lmlomll==2原子结构的量子理论21核外电子的角向概率分布原子结构的量子理论∴电子在核外不是按一定的轨道运动的，量子力学不能断言电子一定出现在核外某确切位置，而只给出电子在核外各处出现的概率，其形象描述——“电子云”)1(5)1(4)1(3)0(21====llllmfmfmpmps原子结构的量子理论22——每瞬间氢原子核外电子照片的叠加电子出现概率小处：雾点密度小电子出现概率大处：雾点密度大)1(5)1(4)1(3)0(21====llllmfmfmpmps原子结构的量子理论‹量子数的物理意义(1)n——主量子数，表征能量量子化E0能量可连续取值——氢原子电离，电子为自由电子E02122242)32(1nEmenEo=−=hεπ,...)3,2,1(=neV6.131−=E玻尔理论关于能级的结论是正确的如果考虑相对论