平面问题有限元解法(公式推导讲解)

平面问题的有限单元解法2020/3/17有限单元法基本思想有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分析。有限单元法的分析步骤如下：物体离散化单元特性分析单元组集，整体分析求解未知节点的位移由节点的位移求解各单元的位移和应力2020/3/17有限元单元模型中几个重要概念单元网格划分中每一个小的块体节点确定单元形状、单元之间相互联结的点节点力单元上节点处的结构内力载荷作用在单元节点上的外力（集中力、分布力）约束限制某些节点的某些自由度弹性模量（杨式模量）E泊松比（横向变形系数）μ密度单元单元载荷节点节点力约束2020/3/171.研究内容内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。弹性力学的内容及基本假定2.研究对象一般弹性实体结构：三维弹性固体、板状结构、杆件等2020/3/17弹性力学的内容及基本假定3.研究方法由平衡方程、几何方程、物理方程三方面分析4.数学理论基础——偏微分方程（高阶，二、三个变量）数值解法：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。2020/3/17弹性力学的内容及基本假定5.基本假定（1）.连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。作用：使得σ、ε、u等量表示成坐标的连续函数。),,(zyx),,(zyxuu)(zyxεε,,2020/3/17弹性力学的内容及基本假定（2）.完全弹性假定假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例关系。脆性材料——一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料——比例阶段，可视为线弹性的。（3）.均匀性假定假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。作用：弹性常数（E、μ）等——不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。2020/3/17弹性力学的内容及基本假定（4）.各向同性假定（5）.小变形假定假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。作用：弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小于物体的原来的尺寸。作用：建立方程时，可略去高阶微量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程线性化。2020/3/17基本概念：外力、应力、形变、位移。1.外力：体力、面力(1)体力VFΔ——分布在物体体积内的力VVΔΔlim0ΔFf——体力分布集度（矢量）xyzOijkxfyfzfkjifzyxfff单位：N/m3kN/m3说明：f是坐标的连续分布函数；弹性力学中的几个基本概念p2020/3/17(2)面力——分布在物体表面的力SFΔSSΔΔlim0ΔFf——面力分布集度（矢量）xyzOijkxfyfzf单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：弹性力学中的几个基本概念kjifzyxfff是坐标的连续分布函数；fp2020/3/172.应力(1)一点应力的概念ΔAΔF内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)PAAΔΔlim0ΔFp截面上P点的应力应力矢量.的极限方向F应力分量n(法线)应力的法向分量——正应力应力的切向分量——切应力单位:MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布弹性力学中的几个基本概念2020/3/17(2)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：xzxyx,,y面的应力：yzyxy,,z面的应力：zyzxz,,弹性力学中的几个基本概念2020/3/17用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyx其中，只有6个量独立。yxxyzyyz切应力互等定理xzzx应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。切应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx弹性力学中的几个基本概念2020/3/173.形变形变——物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。PBCAzxy——用正应变ε度量——切应变γ度量（切应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）三个方向的正应变：三个平面内的切应变：zyx,,zxyzxy,,(1)一点形变的度量应变的正负：正应变：伸长时为正，缩短时为负；切应变：以直角变小时为正，变大时为负；弹性力学中的几个基本概念2020/3/17(2)一点应变状态zzyzxyzyyxxzxyx其中xzzxyxxyzyyz应变无量纲；4.位移注：一点的位移——矢量S应变分量均为位置坐标的函数xyzOSwuvPP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量纲：m或mm弹性力学中的几个基本概念2020/3/17工程力学问题建立力学模型的过程中，一般从三方面进行简化：结构简化如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。受力简化如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。材料简化根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。2020/3/17平面问题的基本理论任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但是如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是某些特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。两种典型的平面问题平面应力问题平面应变问题2020/3/17平面应力问题(1)几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。btat,——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。2020/3/17xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力沿z轴方向不变。0z0zx可认为整个薄板的各点都有：由切应力互等定理，有0zy0yzzy0xzzx结论：平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。2020/3/17平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则vu,yx,沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面2020/3/17水坝任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题0z0yzzy0xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy——平面应变问题注：平面应变问题中0z但是，0z)(yxz2020/3/17如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题2020/3/17三大基本方程根据静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程。平面问题中，根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程：(1-1)根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程：(1-2)根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程：(1-3)(1-3‘)0yxxxfxy0yxyyfyx,,xyxyuvvuxyxy112(1)(),(),xxyyyxxyxyEEE22112(1)(),(),11xxyyyxxyxyEEE2020/3/17yyydyyyxyxdyyxxdxxxyyxxCxfyfxyxydxx平衡微分方程从弹性体中取出一个微分体，根据平衡条件导出应力分量与体力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。从弹性体中取出一个微小的正平行六面体，它在x和y方向的尺寸分别为dx和dy，在z方向的尺寸为一个单位长度。以x为投影轴，列出投影的平衡方程：0xF()1xxdxdyx约简以后，两边除以dxdy，得：0yxxxfxy同理，以y为投影轴，列出投影的平衡方程，化简得：0yxyyfyx1xdy()1yxyxdydxy1yxdx1xfdxdy02020/3/17uvvdyyvvdxxvuudxxuudyy几何方程经过弹性体内的任意一点P，沿x轴和y轴的正方向取两个微小长度的线段PA＝dx和PB＝dy。假定弹性体受力后，P,A,B三点分别移动到P’,A’,B’.线段PA的正应变是：xuudxuuxdxx注:由于位移微小，y方向的位移v引起的PA的伸缩，是高一阶微量，略去不计。线段PB的正应变是：yvy线段PA与PB之间的直角的改变，即切应变线段PA的转角α是：tanvvdxvvxdxx线段PB的转角β是：uyxyvuxy2020/3/17物理方程在理想的弹性体中，形变分量和应力分量之间的关系，在材料力学根据胡克定律导出如下：GGGEEExzxzxyxyyzyzyxzzzxyyzyxx）（）（）（1112(1)EG在平面应力问题中，式变为：1()xxyE2(1)xyxyxyGE1()yyxE在平面应变问题中，只要将上式中的E换为，μ换为就得到平面应变问题的物理方程。21E1xyxyxyyyxxEEE1211222020/3/17假定已知任一点P处坐标面上的应力分量σx，σy，τxy=τyx。求经过该点的，平行于z轴而倾斜于x轴和y轴的任何倾斜面上应力。在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并经过P点划出一个微小的三棱柱PAB。当AB无限小而趋于P点时，平面AB上的应力就成为斜面上的应力。平面问题中一点的应力状态cos(,),cos(,)nxlnymxyxyxyyxmllmlmml)()(22222yyxxyxxfyfxpypnn设斜面AB的长度为ds，则PB面及PA面的长度分别为lds及mds，而PAB的面积为ldsmds/2，棱柱的厚度设为1。由x轴平衡条件，得：02xxxyxldsmdspdsldsmdsf其中，fx为体力分量。将上式除以ds，并令ds趋于0（斜面AB趋于P点），即得：xxxyplm由y轴平衡条件，得：用n表示斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：nnτσ2020/3/17边界条件若在su部分边界上