1-4—周期激励&任意激励载荷下的响应

船体振动基础1第1章单自由度系统的振动一、引言二、无阻尼自由振动三、固有频率的计算四、有阻尼的自由振动五、有阻尼的强迫振动2六、周期激励下系统的响应七、任意激励载荷下单自由度系统的响应1.粘性阻尼强迫振动系统的解内容回顾方程:或:0sin()MxCxKxPt202sin()nnPxxxtM内容回顾1.粘性阻尼强迫振动系统的解''12()(cossin)sin()ntddxteAtAtAt内容回顾2.稳态强迫振动的特点(1)幅频特性3.稳态强迫振动的特点。2221(1)(2)amax2121＝212n时max12＝n时由此看出：当很小时的两者相差很小，所以在工程中仍认为当＝n时发生共振人们在处理共振时，并不仅关注＝n由这一个点，而是指共振点的临近区。一般该点附近5%~10%的频率区域作为共振区域。内容回顾内容回顾3.稳态强迫振动的特点(2)相频特性83.稳态强迫振动的特点。•当激振力的频率w与系统的固有频率wn相当接近，即二者比值趋近于1，但它们并不相等。(3)拍振现象内容回顾第1章单自由度系统的振动六、周期激励下系统的响应•前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到激励为简谐激励。•实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励。•？？对于周期激励如何进行处理？？9第1章单自由度系统的振动六、周期激励下系统的响应P(t+T)=P(t)101.周期函数的表示2.任何周期函数都可以展开为傅里叶级数。01()(cossin)2nnnaPtantbnt第1章单自由度系统的振动六、周期激励下系统的响应112.任何周期函数都可以展开为傅里叶级数。01()(cossin)2nnnaPtantbnt式中：2_____T周期函数的基频；20022()2TTaaPtdtT，——P(t)的平均值222()cos()TnTaFtntdtT222()sin()TnTbFtntdtT(n=0,1,2,……)(n=1,2,……)第1章单自由度系统的振动六、周期激励下系统的响应123.单自由度系统受周期激励作用的运动方程式：01(cossin)2nnnaMxCxKxantbnt•先求出方程式对应与等式右端每一项的解，然后，应用叠加原理，将全部解相加，得到振动系统在周期激励作用下的稳态响应为：011()()cos()()sin()2nnnnnnnnaabxtHnntHnntKKK221()(1)(2)nnnHnnnn22tan1nnnarc第1章单自由度系统的振动六、周期激励下系统的响应3.单自由度系统受周期激励作用的运动方程式：011()()cos()()sin()2nnnnnnnnaabxtHnntHnntKKK221()(1)(2)nnnHnnnn22tan1nnnarc周期激励通过傅氏变换被表示成了一系列频率为基频整数倍的简谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成为谐波分析法ka20代表着平衡位置当作用于系统上所产生的静变形20a13第1章单自由度系统的振动七、任意激励载荷下单自由度系统的响应141.任意激励载荷•许多问题中，系统受到的激励力往往既不是简谐的激励力，又不是周期性激励力，而是任意的时间函数。•任意的时间激励中，有两种激励比较典型。冲击型激励A、舰船的波浪砰击C、爆炸的冲击波、碰撞B、导弹或炮弹发射的反作用力第1章单自由度系统的振动七、任意激励载荷下单自由度系统的响应151.任意激励载荷•任意的时间激励中，有两种激励比较典型。阶跃型激励A、货物的突然起吊C、制动过程B、突然的落锚第1章单自由度系统的振动七、任意激励载荷下单自由度系统的响应162.任意激励载荷的特点•此激励引起的振动没有所谓的稳态响应，而只是瞬态响应。•系统响应的最大位移，可能在激励持续的时间内发生，也可能出现在激励停止作用以后。第1章单自由度系统的振动七、任意激励载荷下单自由度系统的响应173.单位冲量作用下的系统响应•冲量：是力的时间累积效应的量度，是矢量。•系统响应的最大位移，可能在激励持续的时间内发生，也可能出现在激励停止作用以后。(),,tttdef1202()lim,,ttt0000tO122221OtOt10矩形波0()1tdt（1）单位脉冲函数积分性质:取极限单位性tO122221OtOt10tO122221OtOt10脉冲函数演化()()d()fftt度量性（象尺一样量出各时刻的函数值）()))((()fttdtfttdt理想脉冲力：作用时间极短，幅值极大，但冲量有限。（2）脉冲载荷脉冲载荷定义：()()ftIt单位脉冲力：()(),=1,fttI即这里，I是常量。脉冲激励下的强迫振动的过程描述假设：所考察系统的静平衡状态是渐进稳定的，即原来处于静平衡状态的系统，在受到一个脉冲载荷（突然地冲击）之后，进入运动状态，但随时间的推移，又会在阻尼的作用下渐进恢复到静平衡状态。因为已经假设在冲量作用之前系统是静止的，所以，当时，我们有和00=00xx，0t()0ht000000Consideranimpluseat0,with12at0beforeimpluseand0afterimpluseandtheinitialcondition=0andConsideranintegr0(al())tckmttxxmmxcxkxdtItdtxcxkxItI0000000000000;0;0;,mxdtmdxmxcxdtcdxkxdtIxmImx因此，【Impulsechangesvelocityatt=0】产生了一个初速度但是，初位移为零瞬态载荷，系统来不及产生位移。0+0+0,Ixxm&f在t=0时作用冲量f(t)，效果是产生了一初速度，往后系统作自由衰减振动为什么？当t0+时，脉冲力作用已经结束，所以t0+时，有：mxxkxxcxm1)0(,0)0(0质量越大，越小)0(x质量越小，越大)0(x是系统在零初始条件下，对应于t=0时，作用的单位冲量所产生的响应，叫单位脉冲响应。它只与系统参数有关。()ht()ConsidermxcxkxIt0+0+andtheinitialconditions:0,Ixxm&fi.e.,()=1,1(2)cftwithIandmtk参照P10关于亚临界阻尼情形的分析（式1.48）d1sin0()0,0ntdettmhtt，2,1ndnkmImpulsiveexcitation脉冲激励下的强迫振动0ˆ()FFtdt按照叠加原理，对于一个时间历程为任意函数的激励，可以把它分割成一系列在各个不同时刻作用的微脉冲量。这样，系统对应于一个任意激励的响应就等于系统对应于上述微脉冲量系列激励的响应之和。脉冲响应函数：定义为系统在单位冲量作用下的瞬态响应。d1sin0m()0,0ntdetthtt，例如，()(1()sin,)()ntddxtetthmt不难看出，若在作用一单位冲量，系统响应则延迟为tfto()dtff()fI=d()()()()dxthtfd系统的响应微元：如图所示，可以把任意力f(t)看成一系列冲量微元之和。()fd0()()()dtxthtf按照叠加原理，系统对应于f(t)的总响应：()1()()sin()nttdodxtfetdm（卷积）Duhamel积分Duhamel积分:代表单自由度线性阻尼系统零初始条件下对应于任意扰力f(t)的非定常响应。包含了扰力引起的自由振动和强迫振动。系统对此初始条件的响应为000sincosntndddxxxetxt&()sinntddtteImhIs)in1(ntddetmht其中，()1()()sin()nttdodxtfetdm在无阻尼的情形，1()sin()tnonxftdm若初始条件为：2,1ndnkmWhy?0+0+0,Ixxm&单位脉冲响应ConsideraSDOFsystemsubjectedtoanimpulseattimet=0,givingrisetoasuddenchangeinvelocityofthemassm.Theresultinginitialvelocityduetotheimpulseisderivedfromtheimpact-momentumequationas:ˆ0Fxm冲击激励之后，系统将产生有阻尼的自由振动.脉冲激励下的强迫振动的过程描述假设：所考察系统的静平衡状态是渐进稳定的，即原来处于静平衡状态的系统，在受到一个脉冲载荷（突然地冲击）之后，进入运动状态，但随时间的推移，又会在阻尼的作用下渐进恢复到静平衡状态。一般的有阻尼自由振动的运动方程式:sincosnddtxettAB同时，由于冲击产生的初始条件为:00x0ˆFxmand对于上述初始条件，产生的有阻尼自由振动响应为：ˆsinnddtFxetm29例：无阻尼弹簧－质量系统(P28,例1.8)110,00,)(ttttPtP)(tP0P01tt在（0，t1）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用求：系统响应30解法一：01()()sin()tnnxtFtdm00sin()tnnPtdm02(1cos)nnPtm0(1cos)nPtk110,00,)(ttttPtP)(tP0P01tt10tt01()()sin()tnnxtFtdm11001[sin()0sin()]ttnntnPtdtdm011[cos()cos]nnnnPtttm01[cos()cos]nnPtttk1tt110,00,)(ttttPtP)(tP0P01tt（2）时01()[cos()cos]nnPxttttk10tt（1）时0()(1cos)nPxttk01011(1cos),0()[cos()cos],nnnPtttkxtPtttttk因此，系统响应：110,00,)(ttttPtP)(tP0P01tt0tt解法二：当tt1时激振力已经去除，此时系统将以时刻t=t1时的位移和速度为初始条件做自由振动，称为残余振动0()(1cos)nPxttk当时的响应:10tt)(tP0P01ttP27(1.134)tt1时的响应可以求解如下：先求得t=t1时刻的位移和速度：011()(1cos)nPxttk011()sinnnPxttktt1时的响应：1111()()()cos()sin()nnnxtxtxttttt001111(1cos)cos()sinsin()nnnnPPttttttkk01[cos()cos]nnPtttk)(tP0P01tt0()(1cos)nPxttk当时的响应:10tt无阻尼强迫振动运动式解的讨论：（2）时0111()[cos()co