关于同时等分三角形周长和面积的直线的讨论

关于同时等分三角形周长和面积的直线的讨论求证：对于任意一个三角形，一定存在一条直线，它把这个三角形的周长和面积同时分成了两等分。大家知道，三角形的三个内角的角平分线一定交于一点，这个点就是三角形的内心，它到三角形三边的距离是相等的。一个令人吃惊的结论是，经过内心的直线如果平分了三角形的面积，就一定平分了三角形的周长！如图，I是三角形ABC的内心，ID、IE、IF是I到三角形三边的垂线段，它们的长度是相等的，不妨把这个长度值记作r。假设直线PQ经过点I，并且平分三角形的面积。这说明，PA·r/2+AQ·r/2=PB·r/2+BC·r/2+CQ·r/2，也就是PA+AQ=PB+BC+CQ。因此，直线PQ也平分了三角形ABC的周长。如果对于任意一个三角形，都存在一条经过内心并且平分面积的直线的话，我们的问题就解决了。事实上，对于任意一个三角形，以及三角形内的任意一个定点，都存在一条经过该点并且平分面积的直线的。这很容易看出来。首先，过该定点随便作一条直线。如果这条直线正好平分了三角形的面积，问题就直接解决了。否则，将这条直线绕着定点旋转180度，你会发现它回到了原来的位置，但是直线左侧的面积和直线右侧的面积却颠倒了过来。这意味着，假设最开始的时候，直线左侧的面积小于整个三角形面积的1/2，转完之后，直线左侧的面积就将大于整个三角形面积的1/2；反过来，假设最开始的时候，直线左侧的面积大于整个三角形面积的1/2，转完之后，直线左侧的面积就将小于整个三角形面积的1/2。然而，在旋转过程中，直线左侧的面积始终在发生连续的变化，因此必然有一刻，直线左侧的面积正好等于三角形面积的1/2。这就是一条平分三角形面积的直线。根据前面的结论，它也就同时平分了周长。我们不妨把一个三角形中，既平分周长又平分面积的直线叫做“均分线”。有的读者或许会很快发现，在一个三角形中，这样的均分线很可能不止一条。如下图，假如PQ是一条均分线，那么把PQ沿着图中所示的角平分线翻折到P'Q'，容易证明三角形PIQ'和P'IQ是全等的，于是线段PQ'和线段P'Q的长度相等，并且两个三角形的面积相等。因此，原来AP+AQ是三角形周长的一半，现在AP'+AQ'仍然是三角形周长的一半；原来三角形APQ的面积是整个三角形面积的一半，现在三角形AP'Q'的面积仍然是整个三角形面积的一半。可见，P'Q'也将是一条均分线。因此，这个三角形至少有两条均分线。对于一些更特殊的三角形来说，均分线可能还会更多，例如在一个等边三角形当中，均分线至少有三条（它们也就是等边三角形的三条对称轴）。1997年，GeorgeBerzsenyi曾经猜想，一个三角形最多只能有三条均分线。这个猜想是正确的吗？2010年4月，DimitriosKodokostas在MathematicsMagazine上发表了一篇题为TriangleEqualizers文章，完美地解答了这个问题。刚才我们证明了，经过内心的直线如果平分了三角形的面积，就一定平分了三角形的周长。根据同样的道理，经过内心的直线如果平分了三角形的周长，就一定平分了三角形的面积。事实上，我们可以证明，三角形的均分线是一定经过内心的。假如下图中的直线PQ是一条不过I点的均分线，由于BP+BQ等于三角形周长的一半，因而三角形BPI的面积加上三角形BQI的面积就是整个三角形面积的一半，这与三角形BPQ的面积是一样的，可见I一定在直线PQ上。因此，为了计算均分线的数目，我们只需要考虑过内心的直线就行了。受到前面“旋转法”的启发，我们尝试着去确定，在直线绕着内心旋转的过程中，直线两侧的面积究竟将会经历怎样的起伏变化？除了三处例外点以外，这条直线通常会把整个三角形分成一个小三角形和一个四边形。一个非常有用的结论是，若这条直线与任意一条角平分线垂直时，小三角形的面积会达到极小值，四边形部分的面积会达到极大值。为什么呢？看上面这个图，假设AD是三角形的一条角平分线，PQ垂直于AD。如果把PQ旋转到XY的位置，三角形APQ就变成了三角形AXY，下面我们来说明，这样变了之后，面积一定变大了。过点P作AC的平行线，与XY交于点Z。容易证明，图中的两个红色三角形全等，因此三角形AXY的面积比三角形APQ的面积更多，多了图中蓝色三角形那么大的面积。事实上，蓝色三角形的面积为(1/2)·PX·PZ·sin∠XPZ=(1/2)·PX·YQ·sin∠BAC，随着直线的继续转动，这是会不断增加的。当然，如果让PQ逆时针旋转，结果也是一样的：与A点构成的三角形面积会单调递增，与B、C两点构成的四边形面积则会单调递减。因此，在直线绕着内心I旋转180度的过程中，一共会经过上图所示的六个关键节点：三条角平分线（红色表示），以及三条与角平分线垂直的线（蓝色表示）。假设直线从X1Y1出发，按照X1Y1→BE→X2Y2→DA→X3Y3→CF→Y1X1的顺序旋转180度。如果我们把刚开始直线的上方叫做它的左侧，那么在旋转的过程中，左侧的面积会怎么变化？刚开始的时候，直线左侧的面积是图中黄色部分的面积。从X1Y1到BE，直线左侧的面积不断增大；从BE到X2Y2，直线左侧的面积继续增大，并且达到极大值；从X2Y2到DA，直线左侧的面积开始缩小；从DA到X3Y3，直线左侧的面积继续缩小，并且达到极小值；接下来，直线左侧的面积又重新开始变大，最后变成图中的绿色面积。因此，一个典型的面积变化曲线如下图所示，其中横轴表示直线旋转过的度数，纵轴表示直线左侧面积占整个三角形面积的比例。由于这条曲线只有三个单调区间，因此这条曲线与y=1/2最多只有三个交点。换句话说，最多只有三个时刻，直线左侧的面积等于整个三角形面积的一半。这说明，三角形的均分线最多只有三条。Berzsenyi的猜想是正确的。前面我们已经说过，事实上，三角形的均分线确实是有可能达到三条的，等边三角形就是最简单的例子。那么，是否每个三角形都有三条均分线呢？不见得。有些三角形就只有两条均分线。如果刚开始的时候，直线左侧的面积恰好是1/2，那么面积变化曲线将会从1/2开始，上升，下降，再回到1/2。于是，整条曲线和y=1/2只有两个交点，三角形就只有两条均分线了。为了给出一个确凿的例子，我们需要找出一个满足要求的三角形。比方说上图中的等腰三角形，如果三角形APQ和三角形ABC的相似比是1:√2，那么刚开始直线左侧的面积就是1/2了。这要求AI:AD=1:√2，即AI:ID=1:(√2-1)，即AI:IE=1:(√2-1)。此时，∠IAE=arcsin(√2-1)，三角形ABC中的∠A则是2arcsin(√2-1)。根据前面的讨论，这个三角形就只有两条均分线。现在，保持AB=AC不变，继续缩小∠A的度数，此时∠IAE的正弦值会进一步缩小，从而让AI与IE之比（也就是AI与ID之比）进一步扩大，其结果就是，三角形APQ的面积大于整个三角形面积的1/2。这样的话，面积变化曲线将会从某个大于1/2的值出发，上升后再下降，最后再上升到一个小于1/2的、与初始值对称的位置。这条曲线将会仅与y=1/2相交一次，因而三角形就只有一条均分线了。最终，我们得到了一个完整的结论：一个三角形里至少有一条均分线，最多有三条均分线，并且实际数目有可能是1条、2条或者3条中的任意一个。DimitriosKodokostas还细致地讨论了三角形的均分线数量的判别条件，有兴趣的朋友可以查阅一下。如何用尺规作图作出三角形的均分线，这也是一个很有挑战性的问题。