3.1--空间直角坐标系的建立--3.2--空间直角坐标系中点的坐标

§3空间直角坐标系3.1空间直角坐标系的建立3.2空间直角坐标系中点的坐标0数轴上的点可以用唯一的一个实数表示-1-2123AB数轴上的点xyPOxy(x,y)平面中的点可以用有序实数对(x，y)来表示平面坐标系中的点1.如何确定空中飞行的飞机的位置？2.如何确定房间里灯泡所在的位置？墙墙地面下图是一个房间的示意图,我们来探讨表示电灯位置的方法.z134x4y15O(4,5,3)问题1空间直角坐标系的建立Oxyz从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz．点O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和xOz平面．空间直角坐标系右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向.我们也称这样的坐标系为右手系．说明:☆本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.o90思考1：有了空间直角坐标系，那么空间中的任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？oxyzＡabc(a,b,c)问题2空间直角坐标系中点的坐标提示:经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序实数对（a,b,c)叫作点Ａ的坐标.记为Ａ（a,b,c).Ⅶxyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧxOy平面上的点竖坐标为0yOz平面上的点横坐标为0xOz平面上的点纵坐标为0x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0z轴上的点横坐标和纵坐标都为0y轴上的点横坐标和竖坐标都为0一、坐标平面内的点二、坐标轴上的点特殊位置的点的坐标【提升总结】),,(zyxMxyz)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyBC(x,0,z))0,0,0(O问题3：在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组(x,y,z)有什么关系？提示：在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组(x,y,z)之间是一一对应关系.（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴，y轴，z轴分别交于点P，Q,R,点P,Q,R在相应数轴上的坐标依次为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z).这样，对空间任意一点A，就定义了一个有序数组(x,y,z)．（2）反之，对任意一个有序数组（x,y,z)，按照上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P,Q,R，使它们在x轴，y轴，z轴上的坐标分别是(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z).再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．问题4：空间直角坐标系的建系不同,点的坐标相同吗?提示：建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同，因此解题时建立空间直角坐标系要慎重.例1.如图点P′在x轴正半轴上，|OP′|=2,P′P在xOz平面上，且垂直于x轴，|P′P|=1，求点P′和P的坐标.解：点P′的坐标为（2,0,0）,点P的坐标为(2,0,1)或(2,0,-1).C'D'B'A'COABzyx在长方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′，A′，B′，C四点的坐标.【变式练习】D′（0,0,2）A′（3,0,2）B′（3,4,2）C（0,4,0）例2．在空间直角坐标系中作出点P(3,-2,4).解:先确定点P′(3,-2,0)在xOy平面上的位置.因为点P的z坐标为4,则|P′P|=4，且点P和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就确定了点P在空间直角坐标系中的位置,如图所示.p(3,-2,4)p′(3,-2,0)zxyO如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，|OA|=3，|OC|=4，|OD′|=3，A′C′与B′D′相交于点P.分别写出点C,B′,P的坐标.答案：C,B′,P各点的坐标分别是(0，4，0)，(3，4，3)，3(,2,3)2.【变式练习】例3.在同一个空间直角坐标系中画出下列各点：A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，2，0），D（0，2，0），A′（0，0，1），B′（3，0，1），C′（3，2，1），D′（0，2，1）.解：在空间直角坐标系中，画出以上各点，如图，它们刚好是一个长方体的八个顶点.yxOz111••••ABC•DEF••在空间直角坐标系中描出下列各点.A（0,1,1）B（0,0,2）C（0,2,0）D（1,0,3）E（2,2,0）F（1,0,0）解：在空间直角坐标系中，画出以上各点,如图：【变式练习】想一想？在空间直角坐标系中,x轴上的点、xOy坐标平面内的点的坐标各有什么特点？1．x轴上的点横坐标就是与x轴交点的坐标，纵坐标和竖坐标都是0．2．xOy坐标平面内的点的竖坐标为0，横坐标与纵坐标分别是点向两轴作垂线交点的坐标．1.在空间直角坐标系中，点A（1,2,1）关于x轴对称的点的坐标为（）A.（-1，2，1）B.（-1，-2，1）C.（1，-2，-1）D.（1，2，-1）C2.在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于yOz平面对称的点的坐标为（）A.（-3，1，5）B.(-3，-1，-5)C.(3，-1，-5)D.(-3，1，-5)A3点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是()A．(4,2,2)B．(2，－1,2)C．(2,1,1)D．(4，－1,2)C4．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在y轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；③在空间直角坐标系中，在xOy平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)；④在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)．其中叙述正确的个数是________．25.如图，棱长为3a的正方体OABC-DˊAˊBˊCˊ，点M在BˊCˊ上，且|CˊM|=2|MBˊ|，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求点M的坐标.解：由图可知，M点在正方体的上底面，所以M点的竖坐标与D′的竖坐标相同，M在面BCC′B′上，得到点的纵坐标为3a，因为所以M点的横坐标是2a，所以M点的坐标是（2a，3a，3a）CM2MB，空间直角坐标系点在空间直角坐标系中的坐标不实心不成事，不虚心不知事，不自是者博闻，不自满者受益.