线性代数-矩阵-教学ppt

线性代数•1.内容简介•行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论基础。Leibniz在十七世纪就有了行列式的概念。Vandermonde是第一个对行列式理论做出连贯的逻辑阐述的人。Cayley被公认为矩阵论的创立者。线性代数前言•矩阵论在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、经济学中有大量应用的数学分支。•矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。•2.课程特点•抽象性强，应用性强。•以离散变量为研究对象。•3.教学组织•以课堂教学为主。•注重讲解。•抓紧课下的学习、答疑与练习。•4.学习要求•在基本概念上下功夫。•勤于思考，勇于探索。•培养能力。•认真听讲，独立完成作业。•5.教学参考书•大学数学学习指南——线性代数山东大学出版社出版多做练习啊！矩阵的概念•1.矩阵的定义方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111系数排成一个矩形数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211这就是矩阵由mn个数按一定的次序排成的m行n列的矩形数表称为mn矩阵,简称矩阵.横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列ija称为矩阵的第i行j列的元素.元素为实数的称为实矩阵,我们只讨论实矩阵.矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，例如mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211简记为nmijaA)()(11211naaa12111maaa行矩阵列矩阵脚标nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为方阵。主对角线几种特殊形式的矩阵0000.1nmOnnaa11.2kk.311.4nEnnnnaaaaaa22211211.5nnnnaaaaaa212221116.梯形阵设nmijaA)((若零行全在非零行的下面)且各行中第一个（最后一个)非零元素前(后)面零元素的个数随行数增大而增多(减少),则称为上(下)梯形矩阵.简称为上(下)梯形阵.它们统称为梯形阵7332500321000690000100220001000000000087005432110000980001221031207500000004320060500001000010032112344它们是梯形阵吗?不是!请你记住梯形阵的特点,尊重梯形阵的定义.梯形阵是最常用的矩阵!矩阵的运算一、线性运算1.相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列数,且对应元素相等.即nmijaAnmijbB=型号相同ijijba对应元素相等2.加、减法nmijaAnmijbB设矩阵与定义nmijijbaBA)(nmijijbaBA)(显然A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)A+O=O+A=AA-A=O负矩阵nmijaA的负矩阵为nmijaAnmijaA记作,即A3.数乘mnmmnnkakakakakakakakaka212222111211称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kAkA1kA1kAAA1OoAkBkABAklAkAAlkAkllAk)(,)(,)()(矩阵的乘法3132121111xaxaxay3232221212xaxaxay232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx与232132212121113113211211111)()(tbababatbababay232232222122113123212211212)()(tbababatbababay232221131211aaaaaaA323122211211bbbbbbB322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa232221131211aaaaaa323122211211bbbbbbsmijaA)(nsijbB)(一般地，有nmijc)(sjisjijiijbababac2211=ABC)(21isiiaaasjjjbbb21ijcnssmnmBAC1111,11111BA：例AB0000=O2222BABAAB显然这正是矩阵与数的不同1101,1241,63422CBA：例6946,6946ACABACABCB但是这又是矩阵与数的不同请记住：1.矩阵乘法不满足交换率；2.不满足消去率；3.有非零的零因子。nnmnmmEAAAEkBABkAABkCABAACBACABCBABCACAB.4)()()(.3)()(.2)().(1方阵的正整数幂AAAAkEA0lklkAAAkkkBAAB)(问题kkkBAAB)(成立的条件?矩阵的转置nmijaAmnjiaTAA或TTTTTTTkAkABABAAA)()()(TAB)(TTAB请记牢!AB=BAsmijaAnsijbBnmijcABCmnijTTdAB)(msjiTaAsnjiTbBsijsijijjibababac2211jssijijiijabababd2211jicijd=也就是TTTABAB)(TTTTABCABC)(?11TnnTaajicijd=对称阵与反对称阵AAT:对称阵AAT:反对称阵TTTAAAAAA,,TAA22TTAAAAA任一方阵都可以分解成对称阵与反对称阵的和.jiijaa0iijiijaaa且例1:设矩阵A与B为同阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件为AB=BA.证：:TAB)(ABTTTABAB)(又BABAAB:BAABTTTABAB)(BAAB为对称阵。AB例2：求矩阵的幂cossinsincosA?nA2222sincoscossin2cossin2sincos2cos2sin2sin2coscossinsincoscossinsincos2A)1cos()1sin()1sin()1cos(1nnnnAn设cossinsincos)1cos()1sin()1sin()1cos(1nnnnAAAnn则nnnncossinsincosnnnnAncossinsincos