线性代数-矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算(Matrix&Operation)矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子鸡蛋稀饭周星驰4221张曼玉0000陈水扁4986422100004986为了方便，常用下面右边的数表表示§2.1矩阵的概念2.1.1矩阵的引入1.定义2.1由m×n个aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的数表111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaa称m行n列矩阵，简称m×n矩阵。记作111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaaA2.1.2矩阵的定义2.说明:矩阵与行列式不同1)形式不同矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同.2)内容不同矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.3.实矩阵、复矩阵5.矩阵相等充要条件是:BA是同型矩阵、）BA1)(2位置上的元素相等，第）jibajiji4.同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵2.1.2一些特殊矩阵1.方阵若A为n行n列的矩阵，称A为n阶方阵。2.行矩阵、列矩阵行矩阵只有一行的矩阵。列矩阵只有一列的矩矩阵3.零矩阵、单位矩阵表零矩阵nm]0[0n阶单位矩阵100010001nI4.对角矩阵与数量矩阵;),,(2121nnaaaaaadiag5.上（下）三角形矩阵nnnnaaaaaaA22211211nnnnbbbbbbB21222111kkkkI§2.2矩阵的运算2.2.1.矩阵的加法与数乘:111112121121212222221122.....................nnnnmmmmmnmnabababababababababAB注：矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应元素进行相加。1.矩阵的加法（定义2.2）:A=(aij)、B=(bij)2.矩阵的数乘定义2.3数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：111212122212.....................nnmmmnaaaaaaaaaA负矩阵:A=(aij)减法：ＡB=Ａ+(B)3.矩阵线性运算律：(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O(4)1A=A(5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA(7)k(A+B)=kA+kB例1．若X满足XBA22其中534021A,435628B求X.解X=2112221068042435628313/)2(AB2.2.2.矩阵的乘法：1.矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵A为m×s阶矩阵、矩阵B为s×n阶矩阵，A=(aij)m×s、B=(bij)s×n，则矩阵A与B的乘积为一m×n阶矩阵C=(cij)m×n，记C=AB，且112211,2,,()1,2,,ijijijinnjnikkjkcabababimabjpsss11..........................................jiinijnjbaacb就是说，矩阵C的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的所有元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。ss例2计算152295211081043521430112例3.非齐次线性方程组的矩阵表示mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111记mnnmjibbbxxxaA11)(则非齐次线性方程组可简记为bAx(1)()()(2)()()()(3)()()(4)mmnmnmnnmnABCABCABABABABCABACBCABACAEAAAEA关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵A与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；2.矩阵乘法与加法满足的运算规律（3）AB与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定相等；（4）AB=O不一定有A=O或B=O；A(XY)=O且A≠O也不可能一定有X=Y111111112222.O0如：显然有：矩阵乘法不满足总结:交换律与消去律ABABBAABABBA例4定理2.1若矩阵A的第i行是零行，则乘积AB的第i行也是零；若矩阵B的第j行是零列，则乘积AB的第j列也是零。若A(或B)是零矩阵，则乘积AB也是零矩阵。例5设321121,111121BA求AB与BA1710303036231BAAB解只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm(3)(AB)k≠AkBk()nnn为正数AAAA3.矩阵的乘幂：设A是n阶方阵，定义：101020,.(23...)001kAAk求、例6解），，32(121kAkk4.方阵A的n次多项式012012()()()()()()()nnkmxaaxaaxnmaaaafmggx2n2nfx+...+xAfAEAA+...+AAAAAEAfAAAfAA设为的次多项式，为阶方阵，记称为矩阵的次多项式.由于方阵、、对乘法是可交换的，所以矩阵的多项式的乘法也是可交换的，即从而的多项式可以象数的多项式分233232(2)()()33AAEAEAEAEAAAE解因式.如：5.矩阵的转置定义2.6A的转置矩阵，记作AT，是将A的行列互换后所得矩阵如果A是一个m×n阶矩阵，AT是一个n×m阶矩阵。T141232545636AATTTTTTTTTT(1)()(2)()(3)()(4)()AAABABAAABBA矩阵的转置的性质证明（1）、（2）、（3）易证，下证明(4).设矩阵A为m×s阶矩阵，矩阵B为s×n阶矩阵，那么：(AB)T与BTAT是同型矩阵；又设C=AB，因为CT的第i行第j列的元素正好是C的cji，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故(AB)T=ATBT6.对称矩阵与反对称矩阵设A为n阶方阵，若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为对称矩阵；若AT=A，即aij=aji(i,j=1,2,…,n)，称矩阵A为反对称矩阵。171720103A如右边的矩阵A为对称矩阵7.方阵的行列式（1）方阵A的行列式，记为|A|或detA。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律(设A、B为n阶方阵，λ为实数)T(1)||||(2)||||(3)||||||(4)||||nAAAAABABABBA1)伴随矩阵：设A=(aij)n×n，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵8、再讲几类特殊的矩阵11211*1222212.....................nnnnnnAAAAAAAAAA称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊T11123123nABCABC设，，，求例18例矩阵运算举例**(det)AAAAAE伴随矩阵有如下重要性质：1123112332...()()...()()...()111123233111123132123331nnnnCCCCABABABABABABBAC而所以：解：Tn设、为阶矩阵，且为对称矩阵，证明，仍是对称矩阵。ABABAB例2.TTTTTTTTT()()因为，所以故是对称矩阵。证明：AABABBABBABBAB9例n例3.ABABABBA设、都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充要条件是TTTTTTTTT()()()ABABABABBAAABBABBABAABBAAB是对称矩阵而，又，所以有：故是为对称矩阵的证明：充要条件.10例TTTTTTT2T2TT2TTTTTTTT(2)(2)2(2)44()44()()44()44HEXXEXXEXXHHHHEXXEXXXXEXXXXXXEXXXXXXEXXXXE证明：TT12TT(,,...,)42nxxxn例.XXXEHEXXHHHE设列矩阵满足=1,为阶单位矩阵，,证明是对称矩阵，且=11例设对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=BA=E恒成立，则称矩阵A可逆或满秩矩阵,或非奇异矩阵；B称为A的逆矩阵，记为A－1=B。1）.若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。证明：设A有两个逆矩阵B1、B2，则B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩阵的定义（定义2.8）2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质§2.3逆矩阵1*1121111121*122222122212121..........................................nnnnnnnnnnnnijijaaaaaaaaaaAAAAAAAAAAAAAAAA其中是矩阵的元素的代数余子式。证明：充分性由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又|A|≠02）.定理2.2A可逆的充要条件是|A|≠0，且A可逆时有**1*111()():||||||AAAAEAAAAA故3）.对于n阶方阵A、B若有AB=E则：A、B均可逆，且它们互为可逆矩阵。证明：∵AB=E∴|A||B|=1故|A|≠0且|B|≠0，A、B均可逆，又BA=BABB－1=BB－1=E,故A－1=B必要性证明：∵A可逆∴AA－1=A－1A=E故|A||A－1|=1，即|A|≠0，A可逆，同时还有11||||AA奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵Ａ的行列式|A|≠0，称矩阵A为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。4）.逆矩阵的性质如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且(A－1)－1＝A(AT)－1＝(A－1)T(AB)－1＝B－1A－1(kB)－1＝k－1A－1(k为非零）|A－1|=|A|－1证明：∵A、B均可逆∴AA－1=A－1A＝E故(AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E∴(AT)－1=(A－1)T同理(AB)(B－1A－1)＝(B－1A－1)(AB)＝E∴(AＢ)－1=Ｂ