数列的性质和递推公式

数列的性质和递推公式栏目导航自主预习课标要求1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一种方法.2.能根据数列的递推公式写出数列.3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大(小)项.4.了解数列的周期性,能解决相关的简单问题.知识梳理1.数列的函数性质(1)数列可以看成以(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值(2)在数列{an}中,若an+1an,则{an}是递增数列;若an+1an,则{an}为递减数列;若an+1=an,则{an}为常数列.2.数列的递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2,n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.题型一利用数列的函数性质判断数列的单调性题型二求数列的最大(小)项【例2】已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.求n为何值时,an有最小值?并求出最小值.解:法一因为an=n2-5n+4=（n-52）2-94,所以对称轴方程为n=52=2.5.又n∈N*,故n=2或3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=22-5×2+4=-2.法二设第n项最小,由11,,nnnnaaaa得2222541514,541514.nnnnnnnn解这个不等式组得2≤n≤3,所以n=2,3,所以a2=a3且最小,a2=a3=22-5×2+4=-2.求数列{an}的最大项或最小项的方法.一是利用函数增减性的方法:先判断数列{an}的增减情况,再求数列{an}的最大项或最小项.二是利用不等式法:求数列{an}的最大项可由11,,nnnnaaaa来确定n;求数列{an}的最小项可由11,,nnnnaaaa来确定n.题型三由数列的递推公式求其通项公式【例3】(1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+11nn,n∈N*,求通项公式an.(2)设数列{an}中,a1=1,an=(1-1n)an-1(n≥2),求通项公式an.解:(1)因为an+1-an=11nn,所以a2-a1=112;a3-a2=123;a4-a3=134;…an-an-1=11nn;以上各式累加得,an-a1=112+123+…+11nn=1-12+12-13+…+11n-1n=1-1n.所以an+1=1-1n,所以an=-1n.(2)因为a1=1,an=(1-1n)an-1(n≥2),所以1nnaa=1nn(n≥2),an=1nnaa×12nnaa×23nnaa×…×32aa×21aa×a1=1nn×21nn×32nn×…×23×12×1=1n.又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=1n.由数列的递推公式求通项公式的常用方法:(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项.(2)累乘法:当1nnaa=g(n)时,常用an=1nnaa·12nnaa·…·21aa·a1求通项.题后反思