2.5.1向量在平面几何中解题的应用

一、向量有关知识复习（1）向量共线的充要条件:ab与共线0,bRba（2）向量垂直的充要条件：0,00bababa（3）两向量相等充要条件：,baba且方向相同。0//),(),(12212211yxyxbayxbyxa0),(),(21212211yyxxbayxbyxa21212211,),(),(yyxxbayxbyxa二、应用向量知识证明平面几何有关定理例一、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。CBAC0CBAC解：设则，由此可得：bOCaAO,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即，∠ACB=90°0CBAC思考：能否用向量坐标形式证明？二、应用向量知识证明平面几何有关定理例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB,解：设，则baDBbaACaDAbBC;,,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们表示。bADaAB,)(2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa∴222222BDACDACDBCAB三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点FABCDEABCDEH分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CH⊥AB，即高CF与CH重合，即CF过点H只须证CHAB由此可设aBCbCApCH如何证？0ABp利用AD⊥BC，BE⊥CA，对应向量垂直。00)(apabapbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点ABCDEH解：设AD与BE交于H，aBCbCApCH00)(apabapbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图AD、BE、CF是△ABC三条高求证：AD、BE、CF交于一点HFABCDE分析：如图建立坐标系，设A(0,a)B(b,0)C(c,0)只要求出点H、F的坐标，就可求出、的坐标进而确定两向量共线，即三点共线。CHCF再设H(0,m)F(x,y)),(mbBHCABH0),)(,(ambcacmbCABHacbm),(),(baacacbcCH由A、B、F共线；CF⊥AB对应向量共线及垂直解得：AFAB//可得：0)(ayabxCFAB可得：0)()(0),)(,(aycxbycxababcaybbcax2222),(2)2,2(222baabbcaabcabbcaCFCHbcabcCF22即而CF、CH有公共点C，所以C、H、F共线，即AD、BE、CF交于一点CHCF//三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例二、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线ABCNMQP解：设bACaAB,则aAMbAN21,21由此可得abNPBN21baMQCM21baabPANPANPA)(,baabAQMQAMAQ)(,AQPA即故有，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线AQPA//四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积ABCDMNEF四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积ABCDMNEF解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由正方形面积为64，可得边长为8由题意可得M(8,4)，N是AM的中点，故N(4,2))4,8(AMAEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)0)2,4()4,8(eENAM解得：e=5即AE=51021BMAESAEM四、应用向量知识证明等式、求值例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：311nm分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,联想线段的定比分点，利用向量坐标知识进行求解。OABG·PQ由PO=mOA,QO=nOB可知：OBnQOOAmPO,O分的比为，O分的比为PAQB由此可设由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量，得到mn的关系。),()0,(221yxQxPGQPG//-m-n??四、应用向量知识证明等式、求值例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB求证：311nmOABG·PQ证：如图建立坐标系，设),(),0,(),()0,(221cbBaAyxQxP所以重心G的坐标为)3,3(cba由PO=mOA,QO=nOB可知：OBnQOOAmPO,即O分的比为-m，O分的比为-nPAQB求得),()0,(ncnbQmaP由向量可得：GQPG//)3,3(cmabaPG)3,3(cncbanbGQ0)3(3)3)(3(banbccncmaba化简得：311nm例3如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC解：设则,,,ABaADbARrACab由于与共线，故设ARAC(),rnabnR又因为共线，所以设EREB与12()ERmEBmab因为所以ARAEER1122()rbmab1122()()nabbmab因此ABCDEFRT102()()mnmanb即,ab由于向量不共0102nmmn线，1解得：n=m=3111333,,ARACTCACRTAC所以同理于是故AT=RT=TCABCDEFRT你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量向量的运算向量和数到形五、巩固练习：1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形2：如图O为△ABC所在平面内一点，且满足222222ABOCCAOBBCOA求证：AB⊥OCABCO3：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、(4，2)、(0，4)，直线l过A、B两点，求点C到l的距离.HOABCxyl分析一：如图，为求CH长，由CH＝AH－AC可知，关键在于求出AH.由AC·AB的几何意义，AC·AB等于AB的长度与AC在AB方向上的投影的乘积.所以AC·AB＝AH·AB.