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第2章弹性体的振动2.1弦的振动2.2棒的纵振动2.3模的振动在第1章中，我们曾假定振动系统的质量是集中在一点的，弹簧的压缩与伸长是均匀的，描述系统性质的一些参数（如质量、弹性系数、力阻等）都与空间位置无关，这种系统称为集中参数系统。但实际上不少振动系统质量在空间有一连续分布，并且空间某一部分的质量本身还包含弹性和阻尼性质，这种系统称为分布参数系统，具有这种性质的物体称为弹性体。实际中的弹性体是多种多样的，我们仅选择几何形状比较简单，具有一定典型性，并在声学问题中也有实际意义的弹性体如弦、棒、膜等来进行简要分析。2.1弦的振动弦是大家所熟悉的弹性体，如常见的弦乐器等。理想的振动弦是指具有一定质量，并有一定长度、性质柔顺的细丝或细绳，用一定方式把它张紧，并以张力作为弹性恢复力进行振动的弹性体。一般说弹性体自身还具有劲度，但对弦来说，这一自身的劲度与张力相比很小，可以忽略。这是理想弦的一个重要特点。因为弦的振动过程是一种较为直观的波动过程的模型，对这种振动过程的理论处理方法也是研究声学问题的基础。2.2.1弦振动方程设有长为l，两端固定并被张紧的细绳，它的横截面积与密度都是均匀的，在静止时弦处于水平平衡位置，维持其平衡的力是张力T，以N为单位。如果弦上的某点突然被移动，偏离其平衡位置，并被释放，可以观察到，在它的初始位置上的位移并没有保持固定，而是代之以沿弦传播的两个方向各自扰动，一个向左一个向右，具有相等的速度，如图2-1所示。最后弦上形成一定的振动形状，即产生一定的振动方式。因为弦的各部分振动与弦长垂直，而振动的传播是沿弦长方向，因而弦的这种振动方式称为横振动。我们取弦上的一个元段ds，如图2-2所示，以x及x＋dx表示这一元段的两端点的水平位置，则该元段在x轴上的投影为dx．静止时，弦处于水平平衡位置，垂直位移；当振动时，x处弦离开平衡的垂直位移为，并假定元段的垂直位移很小（小振动），则在x点张力分量为方向向下，为弦在x点的切线与水平方向的夹角，它是x的函数，在x＋dx处张力的垂直分量为方向向上，于是作用在该元段上的垂直方向上的合力等于由于是小振动，垂直位移很小，因此和很小，则有利用泰勒级数展开得设弦的线密度为，则元段的质量为，于是根据牛顿第二定律就可以得到该元段弦的运动方程所以其中因为元段的选择具有任意性，所以式（2-1-3）可以用来描述弦上任意位置的振动规律，称之为弦的振动方程．2.1.2弦振动方程的一般解弦振动方程（2-1-3）是一个二阶偏微分方程，它的解应是两个独立变量x和t的函数，设该方程的解具有下列形式：这里的f1和f2是自变量（ct－x），（ct＋x）的任意函数。将f1代入方程（2-1-3），可以证明它确实是方程（2-1-3）的解，现在我们来研究函数f1（ct－x）的物理意义。在t1时刻，x1处弦的横向位移由f1（ct1－x1）给出，在较后的一个时刻t2，我们观察点移到x＝x2，这时弦的位移f1（ct2－x2），见图2-3。如果在经过t2－t1的时间后，在x2处观察到原来（t=t1，x=x1）的状态，则必须满足：ct1－x1＝ct2－x2，则这表明在经过t2－t1的时间后，在t=t1，x=x1处弦的位移状态没有变化地向x的正方向由x1点移到x2点，而移动的速度为c，因为位移的选择是任意的，因此每个横向波均以相同的速度向x正向移动。这意味着扰动的形状保持不变；函数f1（ct－x）表示了一个在x正方向传播的波动过程，称为波函数。由前面讨论可知，弦中的振动传播速度为即弦振动的传播速度是一个仅同弦的固有力学参数有关的常数，弦的张力T愈大（即弦张的愈紧）或线密度愈小（即密度愈小或截面积愈细），则传播速度c就愈大。类似地可以证明f2（ct＋x）是一个沿x负方向，以传播速度c传播的波动过程。在上面的弦振动的一般解中，出现了两个沿不同方向传播的波函数。这就是说假定在初始时刻，对弦某位置施加一扰动，则这一扰动就会向两个相反方向传播。2.1.3自由振动的一般规律——弦振动的驻波解上一节我们讨论了弦振动的一般解，一般说弦总是有限长度的，因此当弦受到某一扰动时，这个扰动就会向两个相反的方向传播，到达边界时就会被反射回来，在弦上形成一定形式的波．下面我们来讨论它的具体振动方式，我们用分离变量法来求解弦振动方程。设方程（2-1-3）的解可以写成下列形式：X（x）是仅包含位置变量x的函数，T（t）是仅包含时间变量t的函数，将式（2-1-6）代人方程（2-1-3）可得上式的左边仅与x有关，右边仅与t有关，x和t都是独立变量，如果式（2-1-7）对任何x和t成立，则其等号两边应恒等于一个与x和t都无关的常数，令该常数为，那么式（2-1-7）可以写成上述二方程的解分别为At，Bt，Ax，Bx均为待定常数，将式（2-1-10）、（2-1-11）代入式（2-1-6）中合并得其中A、B、是待定常数。如果弦的两端固定，对任何时间t满足下列边界条件将边界条件代入式（2-1-12）中得到因为A＝0，所以B≠0，否则整个弦都不振动，显然没有意义。因此要有非零解就必有，则用一新符号代替，于是由式（2-1-12）可知，弦的位移对时间函数来说是一个简谐函数，因而应代表振动的固有频率，而fn代表弦振动频率。从式（2-1-16）可知，对于两端固定的弦，振动频率具有一系列特定的数值，并且仅与弦本身的固有力学参数有关，因而称为弦的固有频率。它与质点系统不同，一个单振子系统仅有一个固有频率，而弦的固有频率不止一个，而有n个，即无限多个，并且固有频率的数值不是任意的，变化也不是连续的，而是按n＝1，2，3，…次序离散变化的，因而称弦的这种固有频率为简正频率。是弦振动的最低的一个固有频率，称为弦的基频。n＞1的各次频率称为泛频，由于各次泛频都是基频的整数倍，因而也称具有这样简单关系的固有频率为谐频，通常弦的基频为第一谐频，第一泛频为第二诣颇，依次类推。因为弦有一系列简正频率，也就是说，当弦作自由振动时，一般可以以许多频率同时在进行振动，而一系列fn对应的位移可根据式（2-1-12）为式（2-1-17）称为第n次振动方式，或简正振动方式，Bn，由初始条件给定，当Bn，一确定，则对应的每一简正频率的振动情况便完全确定。图24是按式（2-1-17）计算出来的较低阶的（n＝1，2，3）振动方式的振幅分布图。从图中可以看到，当弦以基频振动时，除在两固定端位移振幅为零以外（波节），弦的其他位置振幅都不为零，并且有一定分布，在处振幅极大（波腹）。由式（2-1-17）可求得第n次振动方式的波节与波腹，令得到波节位置为可以看出n次振动有n+1个波节。令，则波腹位置为由此式可以看出第n次简正振动有n个波腹。从上面的讨论得出，对于一定的振动方式，波节和波腹的位置是固定的，可见在弦上的振动是驻波方式．每一个简正振动都是方程（2-1-3）的一个特解，因而该方程的一般解应是所有简正振动方式的线性迭加，因此弦上的总位移是式中，称为第n次振动方式的波数，为相应的波长。现在我们来研究初始条件对弦振动的影响。我们假定在t＝0时刻有一般形式的位移和速度此处是x的任意函数，为了处理方便，我们将式（2-1-21）改写成为其中仍为待定系数，将条件式（2-1-21）代入可得对上面两个等式分别乘以，从0到l积分，利用正弦函数的正交性可得因此，只要的具体函数形式给定就可以求出Cn，Dn，从而定出Bn，，于是弦的振动位移就可以完全确定。例如图2-5所示，一两端固定的弦，设在t＝0时，在中央位置x＝l／2处把弦拉开一位移，然后就释放，任其自由振动。求解弦的振动位移。初始条件可写为将上述条件代入式（2-1-24）可得所以，弦振动的位移为其中，再根据正弦函数的性质可以确定，当n为偶数时当n为奇数时对这例子进行分析可以发现一个有趣的规律，因为对应于偶数项的一些振动方式，在中央位置x＝l/2处应是波节，而这一点恰好在初始时刻被拔动，因而波节条件遭到破坏，所以就不能在中央位置产生具有波节的一些谐频振动方式。这在数学上就必然导致与其对应的常数Bn等于零。据上分析可以知道，如果在初始时刻拔动弦的其它位置，则一定会有另外一些振动方式被抑制。也就是说，如果同一根弦，初始时拔动的位置不同，那么弦所产生的振动也各不相同，因此由弦发出的声音的‘音色”也就不相同。我们这里所讨论的棒是均匀的细棒（密度均匀，粗细均匀）。“细”的意思是说它的横截面直径d比在其中传播之弹性波的波长小得多，即，因而振动沿着轴线方向传播。在棒振动中，恢复力主要是棒的劲度。我们知道，在弦振动中的恢复力主要是弦的张力。棒振动可分为三类，即纵振动，横振动和扭转振动。因为振动沿棒轴传播，因此做纵振动时，棒上各点振动方向与轴平行；横振动时，质点振动方向与轴垂直；而做扭转振动时，质点绕轴振动。本节只研究棒的纵振动，其他两种振动形式可参看有关书籍。2.2棒的纵振动2.2.1棒的纵振动方程以下的讨论，将顺着这个顺序：从推导振动的微分方程开始，然后根据特定的边界条件得出相应的解，最后再返回到物理问题的讨论。一均匀棒，只要在棒中一小段有纵向位移或振速，则必然会引起邻段的压缩或伸长，这种伸缩的传播即为纵振动沿棒轴的传播。如图2-6所示．以表示棒上各点的位移。在腰上切出一元段B，其两端静止时的坐标各为x和x＋dx。纵振动时，x端位移为；x＋dx端位移为，因而B段棒的伸长为而邻段C作用在B段左端面上之力，指向x轴负方向（其中E是表示物质劲度的一个常数，称杨氏模量，而s是棒的横截面积），为根据胡克定律，邻段A作用在B段右端面上之力，指向x轴正方向，为由牛顿第二定律得元段B的运动方程：式中为棒之密度。上式可以改写为式（2-2-1）就是棒作纵向自由振动的振动方程。得到纵振动沿x轴方向之传播速度为把棒的纵振动方程与弦的振动方程相比，可以发现它们在形式上完全类似。因而我们不必再进行重复的求解过程，可参照弦振动方程的求解结果（2-1-12），直接写出方程（2-2-1）的解为式中为波数。同弦的振动讨论相似，棒的振动也要受到边界条件和初始条件的制约。下面就来讨论边界条件对棒的纵振动的影响。2.2.2两端固定的棒的振动两端固定的棒，其长为l边界条件用分离变量法解（2-2-3）式，并把边界条件代入，经过运算后可得到式中An，Bn为任意常数，由初始条件决定。是t的周期函数，表示一振动过程，当x取某些值时，等于零。因此不管t为何值，恒等于零（节点）。可见式（2-2-5）所表示的是一种“驻波”形式的振动过程。每一个n对应于一种振动方式：n＝1的振动称为基波，n＞1的各次振动称为n次谐波．棒做纵向自由振动之固有频率第n次谐波频率fn为基频f1的n倍，波长节点位置由所决定，即共有n+1回个节点，它们等距离分布，相邻两节点间的距离为l/n，n＝1到n＝4的驻波图形见图2-7。最后，两端固定棒的一般振动位移是式（2-2-5）的线性迭加常数An，Bn由初始条件决定，将式（2-2-10）代入式（2-2-9），并把展开成正弦级数，比较系数得这样一来振动情况就完全确定了。棒（或弦）的振动在周围介质中传播产生了声音。有调的高低，决定于振动的频率，音的强弱决定于振动的能量（振幅），棒（或弦）振动往往是由式（2-2-9）所表示的各种固有振动的叠加，因此声音（乐音）的品质由式（2-2-9）中的系数An，Bn决定（与初始条件和边界条件都有关），即决定于基音和各次谐音的存在以及它们之间的能量分配。2.2.3两端自由的棒这时棒两端（x＝0，x＝l）不受应力作用，因此有边界条件因而得到解式（2-2-13）所表示的也是一种驻波形式的振动过程，振动的固有频率与两端固定的情形相同，只是节点的位置不同，它由决定，即n＝1到n＝3的驻波图形如图2-8所示。类似地，一端自由一端固定的棒或一端自由，一端加质量负载的棒的情况，同学们可以自行推导。2.3膜的振动我们把弦振动系统推广到二维，即在平衡时振动系统是一平面薄片的情况，所谓物理上的膜就是当它受外力扰动后，恢复其平衡的力主要是张力。例如鼓皮和电容传声器的膜片等，这些膜的劲度比起由于张力所致的恢复力来说很小，可以忽