控制工程基础(第五章)

辽宁科技学院教案课程名称：控制工程基础任课教师：杨光开课系部：机械学院开课教研室：机制开课学期：2012～2013学年度第1学期辽宁科技学院教案（参考样式）课题名称第五章线性控制系统的稳定性第一节系统稳定性的基本概念及基本条件第二节代数稳定性判据课次第（11）次课课时2课型理论（√）；实验（）；实习（）；、实务（）；习题课（）；讨论（）；其他（）教学目标了解系统稳定性的概念；理解系统稳定的必要且充分条件；了解代数判据的基本原理；掌握Routh判据及其应用。重点、难点及解决方法重点：系统稳定的条件难点：无解决方法：教学基本内容与教学设计本节主要内容：一、复习、组织教学；二、系统稳定性的基本概念及基本条件；三、代数稳定性判据；四、总结教学方法讲授法教学手段无课外学习安排思考题、预习、辅导答疑参考资料《机械工程控制基础》，杨叔子主编；《机械控制工程基础》董玉红主编；学习效果评测课外学习指导安排教学后记教学内容一、系统稳定性的基本概念1、稳定的概念原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。若系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后，系统仍然能够回复到原来的平衡状态，则称该系统是（渐近）稳定的。否则，则称该系统是不稳定的。稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。若系统不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态，则称该系统是大范围稳定的；否则系统就是小范围稳定的。对于线性系统，小范围稳定一定意味着大范围稳定，当然此时系统必须工作在其线性范围内。2、稳定的条件假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：则系统（渐近）稳定。考虑系统其特征方程为：对于特征方程的单实根-，相应瞬态输出为：当-0时，该输出分量指数单调衰减。当-0时，该输出分量指数单调递增。当-=0时，该输出分量为常数。综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。显然，稳定性与零点无关。系统稳定的判别方法：1)特征方程——根的分布；2)开环传递函数——闭环系统的稳定性；代数稳定性判据优点：无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。这是一种代数判据，依据根与系统的关系来判断根的分布。系统稳定的必要条件系统的特征方程为：AAA″a、稳定的摆0)(limtoxt)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio01110nnnnasasasa0)())(()(2101110nnnnnpspspsaasasasasD其中，pi(i=0,1,2,…,n)为系统的特征根。若使全部特征根pi若均具有负实部，则要求特征方程的各项系数ai(i=0,1,2,…,n)均大于零，即：ai0(i=0,1,2,…,n)注意，该条件仅为系统稳定的必要条件。系统稳定的充要条件——劳斯稳定判据考虑系统的特征方程：其中，ai0(i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的必要条件。劳斯稳定判据的判别过程如下：在上述计算过程中，为了简化数学运算，可以用一个正整数去除或乘某一整行，这时并不改变系统稳定性的结论。用劳斯判据判别系统稳定性考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、……的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。通常a00，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。劳斯阵列的特殊情况劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不等于零或不全为零。处理方法：用一个很小的正数代替该行第一列的零，并据此计算出阵列中的其余各项。然后令0，按前述方法进行判别。如果零()上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临界稳定状态；如果零()上下两项的符号不同，则表明有一个符号变化，系统不稳定。劳斯阵列表某一行全为零劳斯阵列出现全零行表明系统在s平面有对称分布的根，即存在大小相等符号相反的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对称于实轴的两对共轭复根；或存在更多这种大小相等，但在s平面位置径向相反的根。01110)(nasnansansasD处理方法：利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式导数的系数代替该零行，继续计算劳斯阵列中其余各项。令辅助多项式等于零得到辅助方程，解此方程可得这些成对的特征根。显然，辅助多项式的阶次总是偶数。辽宁科技学院教案（参考样式）课题名称第五章线性控制系统的稳定性第三节几何稳定性判据课次第（12）次课课时2课型理论（√）；实验（）；实习（）；、实务（）；习题课（）；讨论（）；其他（）教学目标理解奈奎斯特判据和Bode判据的主要特点；掌握奈奎斯特判据和Bode判据的使用方法。重点、难点及解决方法重点：奈奎斯特判据和Bode判据的使用方法。难点：无解决方法：教学基本内容与教学设计本节主要内容：一、复习、组织教学；二、奎斯特判据和Bode判据的主要特点三、奎斯特判据和Bode判据的使用方法。四、总结教学方法讲授法教学手段无课外学习安排思考题、预习、辅导答疑参考资料《机械工程控制基础》，杨叔子主编；《机械控制工程基础》董玉红主编；学习效果评测课外学习指导安排教学后记教学内容1、幅角原理设有复变函数：幅角原理：s按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即顺时针包围原点N次。即有：N=Z-P，其中Z:Ls内的F(s)的零点数，P:Ls内的F(s)的极点数。2、开、闭环零极点与F(s)、Nyquist稳定判据结论：系统稳定的充要条件是Gb(s)在右半平面没有极点，也就是F(s)在右半平面没有零点。为研究F(s)在右半平面有没有零点，可选择一条包围一整个s右半平面的封闭曲线，如下图所示：应用幅角原理时，Ls不能通过F(s)任何极点，所以当函数F(s)有若干个极点处于s平面的虚轴或原点)()()2)(1()()2)(1()()()(mnnpspspsmzszszsKsHsGskG)()(1)()(sHsGsGsbG)(1)()(1)(skGsHsGsF取)()2)(1()()2)(1()()2)(1()(npspspsmzszszsKnpspspssF)()2)(1()()2)(1('npspspsnssssss处时，Ls应以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按逆时针方向绕过这些点。设F(s)=1+G(s)H(s),当s沿Ls移动一周时，在F平面上的映射曲线Lf将逆时针包围原点N=Z-P圈。G(s)H(s)=F(s)-1，可见GH平面是将F平面的虚轴右移一个单位所构成的复平面。故F(s)的映射曲线Lf包围原点的圈数就等于G(s)H(s)的映射曲线Lgh包围(-1,j0)的圈数。对于任何物理上可实现的开环系统，其Gk(s)分母的阶数n必不小于分子的阶数m,故有：所以，s平面上的半径为无穷的半圆映射到GH平面为原点或实轴上的一点。故G(s)H(s)的绕行情况只需要考虑s平面的虚轴映射到GH平面上的开环Nyquist轨迹。Nyquist稳定判据：当w上到时，若GH平面上的开环频率特性G(jw)H(jw)逆时针方向包围(-1，j0)点P圈，则闭环系统稳定，P为G(s)H(s)在s右半平面的极点数。对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环稳定的充要条件：系统的开环频率轨迹G(jw)H(jw)不包围(-1,j0)点。Nyquist稳定判别步骤(1)根据开环传递函数，确定P；(2)作G(jw)H(jw)的Nyquist图，确定N；(3)运用判据N=Z-P，确定Z；开环含有积分环节时的Nyquist轨迹当平面上的Nyquist轨迹不能经过的极点时，应该以半径为无穷小的圆弧逆时针绕开开环极点所在的原点，如前图所示。考虑极点在原点处的情形，此时新的虚轴由－j~j0–和j0+~j的两段直线和小半圆j0–~0~j0+组成。小半圆的表达式为：=-90°对应=j0–；=0°对应=0；mnmnsHsGs常量　　　　0)()(lim220limjes=90°对应=j0+；对G(j)起始点位于无穷小的半圆上。Nyquist判据中“穿越”的概念穿越：指开环Nyquist曲线穿过(-1,j0)点左边实轴时的情况。正穿越：增大时，Nyquist曲线由上而下穿过-1~-段实轴。正穿越时，相角增加，相当于Nyquist曲线正向包围(-1,j0)点一圈。负穿越：增大时，Nyquist曲线由下而上穿过-1~-段实轴。负穿越相当于Nyquist曲线反向包围(-1,j0)点一圈。Nyquist稳定判据：当由0变化到时，Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差等于q/2时（q为系统开环右极点数），闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。易知，上图所示系统闭环稳定。Bode稳定判据Bode稳定判据是几何判据，Nyquist判据的引申。(1)Nyquist图与Bode图的对应关系Nyquist图上的单位圆→Bode图上的0dB线即对数幅频特性图上的横轴单位圆之外→对数幅频特性图的0dB线之上Nyquist图上的负实轴→Bode图上的-180°线即对数相频特性上的横轴Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值交界频率，记为ωc。Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率，记为ωg。(2)穿越的概念若开环频率特性Nyquist轨迹在（－1，j0)点沿频率增加的方向，开环Nyquist轨迹自（－1，j0)点以左的负实轴开始向下称为半次正穿越；反之，若沿频率ω增加的方向，开环轨迹自以左的负实轴开始向上-1++–0ReIm==0q=2称为半次负穿越。对应于图上，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，沿ω增加的方向，对数相频特性Bode曲线自下而上穿越-180o线为正穿越；反之，称为负穿越。若对数相频特性曲线自-180o线开始向上，称为半次正穿越；反之，若对数相频特性曲线自-180o线开始向下，称为半次负穿越。Bode判据设系统开环传递函数在[s]平面的右半平面的极点数为P，则对应的闭环系统稳定性判据是：在Bode图上，当ω由0变到∞+时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对-180o线正穿越的次数与负穿越的次数之差为P/2时，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定。特别地：P=0时，若wcwg，闭环系统稳定；若wcwg，闭环系统不稳定；若wc=wg，闭环系统临界稳定。若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切频率，则取最大的那个来判定系统的稳定性。辽宁科技学院教案（参考样式）课题名称第五章线性控制系统的稳定性第三节系统的相对稳定性课次第（13）次课课时2课型理论（√）；实验（）；实习（）；、实务（）；习题课（）；讨论（）；其他（）教学目标了解系统的相对稳定性的含义；理解裕度的概念；掌握工程实例中的稳定性分析方法。重点、难点及解决方法重点：稳定性分析方法。难点：无解决方法：教学基本内容与教学设计本节主要内容：一、复习、组织教学；二、相对稳定性的含义三、稳定性分析方法四、总结教学方法讲授法教学手段无课外学习安排思考题、预习、辅导答疑参考资料《机械工程控制基础》，杨叔子主编；《机械控制工