初中数学竞赛——圆2.直线与圆的位置关系

初二数学超前班八年级1思维的发掘能力的飞跃第2讲直线与圆的位置关系知识总结归纳一．直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点．dr直线l与O⊙相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．dr直线l与O⊙相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．dr直线l与O⊙相交二.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（4）利用弦切角定理逆定理．三.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半，或等于它所夹的弧所对的圆周角．典型例题一.直线与圆的位置关系的判定【例1】已知60ABC，点O在ABC的平分线上，5cmOB，以O为圆心5cm为半径作圆，则O⊙与BC的位置关系是________．lOdrlOdrlOdr初二数学超前班八年级2思维的发掘能力的飞跃【例2】如下左图，在直角梯形ABCD中，ADBC∥，90C∠，且ABADBC＞，AB是O⊙的直径，则直线CD与O⊙的位置关系为（）．A．相离B．相切C．相交D．无法确定【例3】如图，已知O⊙是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，45AOB，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与O⊙有公共点，设OPx，则x的取值范围是（）．A．02x≤≤B．22x≤≤C．11x≤≤D．2x＞【例4】如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作O⊙的切线AD，BADA，10BC，4AD，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是_______．【例5】如图，半径为3cm的O⊙切直线AC于B，3cm3cmABBC，，则AOC的度数是_______．OBCDAPBOAOEDCBAOCBA初二数学超前班八年级3思维的发掘能力的飞跃【例6】在平行四边形ABCD中，1060ABADmD，，，以AB为直径作O⊙，（1）求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示)；（2）当m取何值时，CD与O⊙相切．二.切线长定理【例7】如图，PAPB，分别是O⊙的切线，AB，为切点，AC是O⊙的直径，已知35BAC，P的度数为（）．A．35B．45C．60D．70【例8】如图，从圆O外一点PPAPB，引圆O的两条切线，切点分别为AB，．如果60APB，8PA，那么弦AB的长是（）．A．4B．8C．43D．83【例9】如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是DCE，，．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（）．A．9B．10C．12D．14OABCDCOBAPOBAPOEDCBA初二数学超前班八年级4思维的发掘能力的飞跃【例10】如图，PAPB，切O⊙于AB，，MN切O⊙于C，交PAPB，于MN，两点，已知8PA，求PMN△的周长．【例11】过圆O的直径AB的两端作圆的切线AD、BE，分别与过弧AB任一点C这切线相交于D、E，求证：ODOE．三.三角形的内切圆及内心【例12】如图所示，ABC△中，内切O⊙和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．若70FDE，求A的度数．【例13】如图，ABC△的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F，11cmAB．13cmBC，14cmCA，求AD、BE、CF的长．OPCNMBAABECDOOFEDCBAFEDCBA初二数学超前班八年级5思维的发掘能力的飞跃【例14】如图，O⊙为RtABC△的内切圆，9043ACBACBC，，，求内切圆半径r．【例15】ABC△中，AB7，8BC，CA9，过ABC△的内切圆圆心I作DEBC∥，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为．四.弦切角与切线的判定【例16】已知：如图，ABC△内接于O⊙，AD是过A的一条射线，且BCAD．求证：AD是O⊙的切线．【例17】如图，已知OA是O⊙的半径，B是OA中点，BCOA，P是OA延长线上一点，且PAAC．求证：PC是O⊙的切线．43OCBAODCBAPOCBA初二数学超前班八年级6思维的发掘能力的飞跃【例18】如图，AB是O⊙的直径，C点在圆上，CDAB于D．P在BA延长线上，且PCAACD．求证：PC是O⊙的切线．【例19】如图所示，以RtABC△的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D，OEAC∥交AB于E，求证：DE是O⊙的切线．【例20】如图，RtABC△中，90ABC，以AB为直径作O⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．求证：直线DE是O⊙的切线；【例21】如图，AB是O⊙的的直径，BCAB于点B，连接OC交O⊙于点E，弦ADOC∥，弦DFAB于点G．（1）求证：点E是BD的中点；（2）求证：CD是O⊙的切线．ODCBAPOEDCBAFODECBAOFGEDCBA初二数学超前班八年级7思维的发掘能力的飞跃【例22】如图，等腰三角形ABC中，10ACBC，12AB．以BC为直径作O⊙交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是O⊙的切线．五.巩固提高【例23】如图，已知AB是O⊙的直径，BC是和O⊙相切于点B的切线，O⊙的弦AD平行于OC，若2OA，且6ADOC，求CD的长．【例24】如图，ABBC，以AB为直径的O⊙交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E．（1）求证：DE是O⊙的切线；（2）作DGAB交O⊙于G，垂足为F，若308AAB，，求弦DG的长．ODCBAOGFDECBA初二数学超前班八年级8思维的发掘能力的飞跃【例25】如图，AB为O⊙的直径，D是BC的中点，DEAC交AC的延长线于E，O⊙的切线BF交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是O⊙的切线；（2）若3DE，O⊙的半径为5，求BF的长．【例26】如图，AB是O⊙的直径，30BAC，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且ECFE．（1）证明CF是O⊙的切线；（2）设O⊙的半径为1，且ACCE，求MO的长．【例27】如图，AC为O⊙的直径，B是O⊙外一点，AB交O⊙于E点，过E点作O⊙的切线，交BC于..点，DEDC，作EFAC于F点，交AD于M点．（1）求证：BC是O⊙的切线；（2）EMMF．OCDFABEOEFNAMBCMFEODCBA初二数学超前班八年级9思维的发掘能力的飞跃思维飞跃【例28】如图，已知O⊙的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EAEC，延长EC到点P，连结PB，若PBPE，试判断PB与O⊙的位置关系，并说明理由．【例29】如图，ABBC，分别是O⊙的直径和弦，点D为BC上一点，弦DE交O⊙于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HCHG，连接BH，交O⊙于点M，连接MDME，．求证：（1）DEAB；（2）HMDMHEMEH．【例30】如图甲，已知AB为半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线，在弧AB上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D，过点C作CEAB，垂足为E，连接BD，交CE于点F．（1）当点C为弧AB的中点时，求证：CFEF；（2）当点C不是弧AB的中点时（图乙），试判断CF与EF的相等关系是否存在，并证明你的结论．OPFEDCBAHOMGFEDCBA甲OPFDECBA乙OPFDECBA初二数学超前班八年级10思维的发掘能力的飞跃作业1.一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，60MPN，则OP（）．A．50cmB．253cmC．503cm3D．503cm2.等腰梯形ABCD外切于圆，且中位线MN的长为10，那么这个等腰梯形的周长是________．3.如图，点O是ABC△的内切圆的圆心，若80BAC△，则BOC（）A．130°B．100°C．50°D．65°4.RtABC△中，9068CACBC，，，则ABC△的内切圆半径r________．5.如图，O⊙是ABC△的内切圆，DEF，，是切点，18cm20cm12cmABBCAC，，，又直线MN切O⊙于G，交ABAC、于MN，则BMN△的周长为______________．OPMNOCBAONMGFEDCBA初二数学超前班八年级11思维的发掘能力的飞跃6.如图，RtABC中，9043CACBC，，，以BC上一点O为圆心作O⊙与ABAC、相切，又O⊙与BC的另一交点为D，则线段BD的长为_____________．7.由圆外一点P引圆的两条切线PB、PD，B、D为切点，过B作直径AB，连接AD、PO，则ADPO∥．8.如图，PAPBDE、、分别切O⊙于ABC、、，若10PO，PDE△周长为16，求O⊙的半径．9.如图，在ABC中，90C，34ACBC，．O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点DE，，连结DE．（1）当3BD时，求线段DE的长；（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：FAE△是等腰三角形．ABCDOADPOEBOPEDCBAOFEDCBA初二数学超前班八年级12思维的发掘能力的飞跃10.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是DCE，，．求证：以AB为直径的圆与CD相切．11.如图，以等腰ABC△中的腰AB为直径作O⊙，交BC于点D．过点D作DEAC，垂足为E．（1）求证：DE为O的切线；（2）若O⊙的半径为5，60BAC，求DE的长．12.如图，A是以BC为直径的O⊙上一点，ADBC于点D，过点B作O⊙的切线，与CA的延长线相交于点EG，是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BFEF；（2）求证：PA是O⊙的切线；（3）若FGBF，且O⊙的半径长为32，求BD和FG的长度．ODCBAOEDCBAGPFEODCBA