初中数学竞赛——轮换式和对称式

思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级17第2讲轮换式和对称式知识总结归纳一．基本轮换式：（1）xyz（2）222xyz（3）xyyzzx（4）333xyz（5）222xyyzzx（6）222xyyzzx（7）xyz二．齐次轮换式：（1）一次齐次轮换式：()lxyz（2）二次齐次轮换式：222()()lxyzmxyyzzx（3）三次齐次轮换式：333222222()()()lxyzmxyyzzxnxyyzzxkxyz以上lmnk、、、都是待定的常数二．轮换式与对称式的分解的一般方法：首先，把它看成一个字母的多项式，用试根法，找出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式.非齐次轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加进行分解。特殊的轮换式可能有更简单的方法，不一定非用一般的方法去分解.对于xy、的多项式223322,,,,,xyxyxyxyxyxy在字母x与y互换时，保持不变，这样的多项式称为xy、的对称式。类似的，关于xyz、、的多项式思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级27222333222222,,,,,,,xyzxyxyzxyyzzxxyzxyzxyxzyzyxzxzy在字母xyz、、中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为xyz、、的对称式.关于xyz、、的多项式222333222,,,,,,,xyzxyxyzxyyzzxxyzxyzxyyzzx在将字母xyz、、轮换（即将x换成y，y换成z，z换成x）时，保持不变.这样的多项式称为xyz、、的轮换式。显然，关于xyz、、的对称式一定是xyz、、的轮换式.但是，关于xyz、、的轮换式不一定是xyz、、的对称式.例如222xyyzzx就不是对称式.两个轮换式(对称式)的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）。轮换式与对称式反映了数学的美.它们的因式分解也是井然有序的，可以按照一定的规律去做。典型例题一.典型方法【例1】分解因式：222()()()xyzyzxzxy.【例2】分解因式：333()()()abcbcacab.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级37【例3】分解因式：3333()()()()abcbcacababc.【例4】分解因式：333222()()()2xyzxyzyzxzxyxyz.【例5】分解因式：2222223xyyzzxxyyzzxxyz.二.齐次与非齐次【例6】分解因式：555()()()yzzxxy.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级47【例7】分解因式：222222()(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)yzxyxzzxyzyxxyzxzy.三.公式3333abcabc【例8】分解因式：3333abcabc.【例9】分解因式：333()()()3()()()abcbcacababcbcacab.四.综合提高【例10】分解因式：555()abab.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级57【例11】证明：422234222342223()()()abcabcabcabc能被444222222222abcabbcca整除.【例12】n是大于1的自然数，证明：2222222()()()()nnnnnnnxyzyzzxxyxyz能被4444444()()()()xyzyzzxxyxyz整除.【例13】分解因式：333()(2)()(2)()(2)bcbcacacabababc.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级67【例14】已知：3333()abcabc.求证：21212121()nnnnabcabc（n为自然数）.【例15】已知有理数a、b、c满足1111abcabc，求证ab，或bc，或ca.【例16】求证：444222()()()1()()()()()()2xyzyzxzxyyzzxxyyzzxxy.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级77【例17】求证：()()()()()()abbccaabbccaabbccaabbcca.【例18】求证：2222222222222222224()4()4()161616acabcbaabccbabc3()()()ssasbsc，其中1()2sabc.思维飞跃【例19】分解因式：2()()()()bcdcdadababcbcadcdabdbac.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级87作业1.分解因式：()()()bcbccacaabab.2.分解因式：2222222ababacacbcbcabc.3.分解因式：3333()xyzxyz.4.分解因式：222()()()()()()bcbccacaabab.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级975.分解因式：333()()()abcbcacab.6.分解因式：222222()()()bcbccacaabab.7.分解因式：444444()()()abcbcacab.8.分解因式：422422422()()()abcbcacab.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级1079.分解因式：333(1)()(1)()(1)()aabcbbcaccab.10.证明：22()()()()()abcbcdcdadababcdbcdacabdabcdabcd.11.已知a，b，c是ABC三边边长.求证：333222()()()40abcabcbcacababc.12.已知：2222222221222yzxzxyxyzyzzxxy，求证：xyz、、三个数中，一定有两个数的和等于第三个数。