初中数学竞赛——余数定理和综合除法

思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级17第1讲余数定理和综合除法知识总结归纳一．除法定理：()fx和()gx是两个一元多项式，且()0gx，则恰好有两个多项式()qx及()rx，使()()()()fxqxgxrx，其中()0rx，或者()rx比()gx次数小。这里()fx称为被除式，()gx称为除式，()qx称为商式，()rx称为余式.二．余数定理：对于一元n次多项式1110()nnnnfxaxaxaxa，用一元多项式xc去除()fx，那么余式是一个数。设这时商为多项式()gx，则有()()()()fxxcgxfc也就是说，xc去除()fx时，所得的余数是()fc.三．试根法的依据（因式定理）：如果()0fc，那么xc是()fx的一个因式.反过来，如果xc是()fx的一个因式，那么()0fc。四．试根法的应用：假定1110()nnnnfxaxaxaxa是整系数多项式，又设有理数pcq是()fx的根（pq、是互质的两个整数），则p是常数项0a的因数，q是首项系数na的因数.特别的，如果1na，即()fx是首1多项式，这个时候1q，有理根都是整数根。典型例题一.多项式的除法【例1】已知32()4523fxxxx，2()21gxxx，试求()fx除以()gx所得的商式()Qx和余式()Rx.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级27【例2】已知5432()342352818fxxxxxx，32()213gxxxx，试求()fx除以()gx所得的商式()Qx和余式()Rx.【例3】已知432()571023fxxxxx,2()1gxx，试求()fx除以()gx所得的商式()Qx和余式()Rx.二.综合除法【例4】用综合除法计算：432(531)(1)xxxxx.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级37【例5】用综合除法求()fx除以()gx所得的商式()Qx和余数R.（1）2()253fxxx，()3gxx；（2）32()321fxxx，1()3gxx.【例6】用综合除法计算：432(6534)(21)xxxxx.【例7】先用综合除法求出()fx除以()gx所得的商式和余式，不再作除法，写出()fx除以()hx的商式和余式.32()243fxxxx，()3gxx.（1）()2(3)hxx；（2）1()(3)2hxx.三.余数定理和多项式理论【例8】43()241fxxxx，()2gxx，求余数R的值.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级47【例9】32()23814fxxxx除以23x的余数R是多少？【例10】（1）求1x除542()7465fxxxx所得的余数；（2）求22x除542()7465fxxxx所得的余数.【例11】多项式324715axbxx可以被31x和23x整除，求a，b.【例12】试确定a、b的值，使多项式432()235fxxxaxxb被(1)(2)xx整除.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级57【例13】已知432()22fxxaxxbx能被22xx整除，求ab的值.【例14】证明：当a，b是不相等的常数时，若关于x的整式()fx能被xa，xb整除，则()fx也能被积()()xaxb整除.【例15】多项式()fx除以1x、2x所得的余数分别为3和5，求()fx除以(1)(2)xx所得的余式.【例16】已知关于若x的三次多项式()fx除以21x时，余式是21x；除以24x时，余式是34x.求这个三次多项式.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级67【例17】已知关于x的三次多项式()fx除以21x时，余式是25x；除以24x时，余式是34x，求这个三项式.【例18】已知32()232fxxxx除以整数系数多项式()gx所得的商式及余式均为()hx，试求()gx和()hx，其中()hx不是常数.【例19】已知323xkx除以3x，其余数比1x除所得的余数少2，求k的值.【例20】若多项式432xxaxbxc能被3(1)x整除，求a，b，c的值.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级77【例21】如果当x取0，1，2时，多项式分别取值0，0，1，试确定一个二次多项式()fx.四.因式分解（试根法）【例22】分解因式：354xx.【例23】分解因式：326116xxx.【例24】分解因式：4322928xxxx.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级87【例25】分解因式：43293732xxxx.【例26】分解因式：65432234321xxxxxx【例27】分解因式：322392624xxyxyy【例28】分解因式：32511133xxx思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级97【例29】分解因式：32()()xabcxabbccaxabc【例30】分解因式：32(1)(3)(2)axaxaxa【例31】分解因式：32()(32)(23)2()lmxlmnxlmnxmn思维飞跃【例32】若2310xx，求325518xxx的值.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级107【例33】若2()fxxmxn（mn、都是整数）既是多项式42625xx的因子，又是多项式4234285xxx的因子，求()fx.【例34】求证：若ab，则多项式()fx除以()()xaxb所得的余式是()(()(fafbafbbfaxabab））.【例35】()fx除以1x，2x，3x多得的余数分别为1，2，3，求()fx除以(1)(2)(3)xxx多得的余式.【例36】求证：99998888777722221111()1fxxxxxx能被9872()1gxxxxxx整除.作业思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级1171.分解因式：（1）3246aaa.（2）43233116aaaa.（3）4322347136xxyxyxyy.2.若32()23fxxxaxb除以1x所得的余数为7，除以1x所得的余数为5，试求ab、的值.3.多项式()fx除以1x、2x和3x所得的余数分别为1、2、3，试求()fx除以(1)(2)(3)xxx所得的余式.4.若554xqxr能被22)x（整除，求q与r的值.5.分解因式：3245xx.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级1276.分解因式：4322344xxxx.7.分解因式：4322744xxxx.8.分解因式：5432271214103xxxxx.9.分解因式：33(2)(2)xyxyxy.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级13710.分解因式：32236532xxyxyy.11.分解因式：3284()2()xabcxabbccaxabc.12.分解因式：32(1)(3)(2)axaxaxa.13.已知多项式543()3811fxxxxxk能被2x整除，求k的值.思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班年级14714.求证：ab，bc，ca都是222()()()abcbcacab的因式，并分解因式.15.一个整系数3次多项式()fx，有三个不同的整数123,,aaa，使123()()()1fafafa.又设b为不同于123aaa，，的任意整数，试证明：()1fb.16.已知a、b、c、d是正整数，则4414243abcdxxxx能被321xxx整除.