初中数学竞赛——比例线段初步

初二数学联赛班八年级1思维的发掘能力的飞跃第4讲比例线段初步知识总结归纳一.平行线分线段成比例定理：如下图，如果1l∥2l∥3l，则BCEFACDF，ABDEACDF，ABACDEDF．二.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DEBC∥，则ADAEDEABACBC三.平行的判定定理：如上图，如果有ADAEABAC，那么DEBC∥．四.两个常见模型：如图，已知直线EFBC∥，直线EF分别与直线AB、AC、AD相交于E、F、G点，则BDEGDCFG．l3l2l1FEDCBAGFEDCBAADAEGFCEDCBABDAEC初二数学联赛班八年级2思维的发掘能力的飞跃典型例题一.比例式的计算【例1】已知35ab，求（1）ba；（2）abb的值．【例2】已知513ba，则abab的值是（）A．23B．32C．94D．49【例3】已知()()73abab：：，求（1）ab；（2）222abbab．【例4】已知425xyz，那么3223xyzxy______；若(2)4xyy：，那么(32)(45)xyxy：______．二.基础训练【例5】如图，已知直线abc∥∥，直线m、n分别与a、b、c交于A、C、E、B、D、F．若4AC，6CE，3BD，则BF_______．【例6】如图，12ll∥，25AFFB：：，41BCCD：：，则AEEC：_______．CFDBAEEFGADCB初二数学联赛班八年级3思维的发掘能力的飞跃【例7】如图，DEBC∥，且DBAE，若510ABAC，，求AE的长．【例8】证明下列各组问题，并对各组的两个图形进行比较：（1）如图，已知直线EFBC∥，直线EF分别与直线AB、AC、AD相交于E、F、G点，求证：BDEGDCFG．（2）如图，已知DEBC∥，EFCD∥，求证：2ADAFAB．【例9】如图，已知ABC△，作DEBC∥交AB于D，交AC于E，连CD、BE交于点F．求证：（1）DFADCFAB；（2）1BDEFABBF．EDCBAFEDCBAGFEDCBABDAEGFCFEDCBACBFDEA初二数学联赛班八年级4思维的发掘能力的飞跃【例10】如图，已知AD为ABC△的BC边上的中线，P为线段BD上一点，过点P作AD的平行线交AB于Q，交CA的延长线于R．求证：2PQPRAD．【例11】如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD，垂足为F．证明：111ABCDEF．【例12】如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，129ABCD，，过对角线交点O作EFCD∥交ADBC，于EF，，求EF的长．三.巩固提高【例13】如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，396ADBCAB，，，4CD，若EFBC∥，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，求EF的长．FEDCBAOFEDCBAFEDCBAQDPBCAR初二数学联赛班八年级5思维的发掘能力的飞跃【例14】如图，在ABC△中，D、E为AC、AB上的点，BD、CE相交于O，取AB的中点F，连结OF．若12ADCD，12AEBE．求证：OFBC∥．【例15】如图，ABCD□中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO的延长线交AB于G，求证：2ABADDFDE．【例16】在四边形ABCD中，AC、BD相交于．O．，直线lBD∥，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PMPNPRPS．FCBADEGOSRNPCODBAMlOEDCBAF初二数学联赛班八年级6思维的发掘能力的飞跃【例17】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BDEF∥，AC的延长线交EF于G．求证：EGGF．【例18】已知O是平行四边形ABCD内的任意一点，过点O作EFAB∥，分别交AD、BC于E、F，又过O作GHBC∥，分别交AB、CD于G、H；连结BE，交GH于P；连结DG，交EF于Q．如果OPOQ，求证：平行四边形ABCD是菱形．【例19】已知：P为ABC△的中位线上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：1ADAEDCEBGFECDBAPNMEDCBAOGFEDCBAPQH初二数学联赛班八年级7思维的发掘能力的飞跃思维飞跃【例20】如图，已知梯形ABCD中，ADBC∥（ADBC＜），AC和BD相交于M，EFAD∥，且过M，EC和FB交于N，GHAD∥，且过N．求证：1212ADBCEFGH．【例21】如图，AD是ABC△的中线，过CD上任意一点F，作EGAB∥，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FHAC∥交AB于点H，求证：HGBE．作业1.已知238xyz，求（1）22xzyz；（2）2345xyzx．DHGFECBANHMGFECBDA初二数学联赛班八年级8思维的发掘能力的飞跃2.如下两个图中，已知EFBC∥，FGDC∥，分别证明：AEAGABAD．3.已知：如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F．（1）求证：EFCD∥（2）若ABa，CDb，求EF的长．4.在梯形ABCD中，ABCD∥，AC与BD交于O，MONAB∥，且MON交AD、BC于M、N．若1MN，求11ABCD的值．FEMDCBAEFGDCBACDGEBAF初二数学联赛班八年级9思维的发掘能力的飞跃5.如已知DEAB∥，2OAOCOE，求证：ADBC∥．6.如图，已知D、E是AC、AB上的点，BD、CE交于O点，过O点作OFCB∥交AB于F，12ADCD，12AEBE，求证：F为AB的中点．7.设D为ABC△的边BC的中点，过D作一条直线，交AB、AC或其延长线于E、F，又过A作AGBC∥，交EF的延长线于G，则EGFDGFDE．DOECBAFOECBADFCDBEGA初二数学联赛班八年级10思维的发掘能力的飞跃8.凸四边形ABCD中，ADC，90BCD＞，BE平行于AD交AC延长线于点E，AF平行于BC交BD延长线于点F，，连接E、F．证明：EFCD∥．9.如图，在直线l的同侧有三个相邻的等边三角形ABC△、ADE△、AFG△，且G、A、B都在直线l上，设这三个三角形边长分别为a、b、c，连结GD交AE于N，连BN交AC于L，求AL的长．10.如图，D、E、F分别是ABC△中BC、CA、AB的中点，过A任作一直线DE、FD分别交于G、H，求证：CGBH∥．CDOFEBALNFEDClBGAHGFEDCBAP