初中数学竞赛——判别式及其应用

思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班实验一1第9讲判别式及其应用典型例题一.基础练习【例1】关于x的方程2(2)20axax只有一解（相同解算一解），求a的值．【例2】关于x的方程21(1)104kxkx有两个实数根，求k的取值范围．【例3】如果关于x的一元二次方程22110kxkx有两个不相等的实数根，求k的取值范围．思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班实验一2【例4】若关于x的方程22(2)50mxmxm无实根，试判定关于x的方2(6)2(2)mxmx0m根的情况．二.综合提高【例5】证明：x的一元二次方程2(21)10xkxk有两个不相等的实数根．【例6】已知关于x的方程22(31)220xkxkk．（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长6a，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班实验一3【例7】如a、b为实数，证明：方程()()1xaxb有两个相异实数根．【例8】已知a、b、c是不全为0的3个实数，试说明关于x的一元二次方程22()(xabcxa22)0bc的根的情况．【例9】已知a、b、c为三角形的三边，试判断方程222222()0bxbcaxc有无实根．思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班实验一4【例10】设方程24xax只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．【例11】若0x是一元二次方程20axbxc（0a）的根，请比较判别式24bac与平方式M20(2)axb的大小．三.判别式的巧妙应用【例12】二次三项式29xkx是一个完全平方式，求k的值．思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班实验一5【例13】若()()()()()()xaxbxbxcxcxa是关于x的完全平方式，求证：abc．【例14】已知实数a、b满足2242420abab，求a、b的值．【例15】求方程221xyxxyy的实数解．思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班实验一6【例16】求关于xy、的方程221115320224xxyyxy的实数解．【例17】若实数a、b满足21202aabb，求实数a的取值范围．【例18】m为什么整数时，29526mm能分解成两个连续自然数的积？思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班实验一7思维飞跃【例19】已知a为实数，且使关于x的二次方程220xaxa有实根，该方程的根x所能取到的最大值是多少？【例20】已知关于x的二次方程2110xpxq与2220xpxq，求证：当12122()ppqq时，这两个方程中至少有一个方程有实根．【例21】如果x的一元二次方程2()()()0acbcxbcabxabac有两个相等的实数根．求证：112acb．思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班实验一8【例22】关于x的方程322210xaxaxa只有一个实数根，求a的取值范围．【例23】设a、b、c为互不相等的实数．求证：二次方程220axbxc，220bxcxa，22cxax0b不可能同时都有两个相等的实根．作业1.当k为何值时，关于x的一元二次方程226360xkxk有两个不相等的实根．思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班实验一92.m为何值时，一元二次方程2(5)650mxxm必有两个实根？3.使得关于x的一元二次方程22(4)60xkxx无实数根的最小整数k是多少？4.如果关于x的一元二次方程22(2)50mxmxm没有实数根，试判断关于x的方程2(5)mx2(1)0mxm的根的情况．思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班实验一105.若关于x的方程22(2)0axaxa有实数根，求实数a的取值范围．6.若方程25xxa有且只有两个相异实数根，求a的取值范围．7.若a、b、c为ABC△的三边，且关于x的方程222222222244()3()0xabcxabbcca有两个相等的实数根，试证明ABC△是等边三角形．思维的发掘能力的飞跃初一数学联赛班实验一118.解方程：221441188341490xxyyxy．9.已知关于x的方程22(1)204axax有实数根0x，其中a为实数，求200720070ax的值．10.求自然数n，使245nn为完全平方数．