初中数学竞赛辅导资料(27)

初中数学竞赛辅导资料（27）识图甲内容提要1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像点：只表示位置，没有大小，不可再分。线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。乙例题例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？解：甲图中有10个角：∠AOB,∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD,∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。O丁乙丙甲DCBAABCOABCDEDE个：边长1个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＋4＋5＝15顶点在下▼的个数有1＋2＋3＋4＝10边长2个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＋4＝10顶点在下▼的个数有1＋2＝3边长3个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＝6边长4个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＝3边长5个单位：顶点在上▲的个数有1以上要注意数一数的规律例2.设平面内有6个点A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。（1989年全国初中数学联赛题）解：从点A1与其他5点连线有5条，从点A2与其他4点（A1除外）连线有4条，从A3与其他3点连线有3条（A1，A2除外）……以此类推，6个点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点连线共5×6再除以2（因重复计算）。要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线，共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A1A4，A2A5，A3A6A5A4A6A3A1A2例3.如图水平线与铅垂线相交于O，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速前进，当甲在O点时，乙离点O为500米，2分钟后，甲、乙离点O相等；又过8分钟，甲、乙再次离点O相等。求甲和乙的速度比。解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2乙2为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y米，根据题意得500101025002yxyx甲O甲1甲2解得12x=8y乙1∴x∶y=2∶3乙0答甲和乙的速度比是2比3。在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形三个顶点，共6个点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？（1989年全国初中数学联赛题）解：如图△ABC中一个点D，与A，B，C各点连结可得3个不重迭的三角形；再增加1个点E，这时可连结不重迭的三角形共5个，再增加1个点F，又可增加2个不重迭的三角形，共有7个。一般规律是每增加1个点，可增加不重迭的三角形2个AAAFDEEBCDDBCBC丙练习271.数一数：甲图中有直角三角形＿＿个，乙图中有等腰直角三角＿＿个，丙图中有全等三角形＿＿对。ADDCAEDCEBAB甲乙B丙C2.平面上有5个点A，B，C，D，E，其中A，B，C三点在同一直线上，那么以这5个点为端点的线段共有＿＿＿条，记作_____＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3.以O为端点画6条射线OA，OB，OC，OD，OE,OF,那么可组成的角（小于平角）最多是＿＿个，最少是＿＿＿个，试分别画出草图。4.在三角形内有n个点（n为整数）与原三角形3个顶点共n＋3个点，以这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有＿＿＿＿个。5.下图中三角形＿＿＿个其中等腰三角形＿＿个，直角三角形＿＿＿个，全等的等腰三角形＿＿组，每组＿＿个，全等的直角三角形＿＿＿组，每组＿＿个。6.如图长方形ABCD中，E，F，G分别在边BC，CD，DA上，以A为一个顶点，其他两点在B，C，D，E，F，G中任选，总共可组成的三角形的个数是＿＿（1987年泉州市初二数学双基赛题）BCDAEFG，B，C，D，E，F其中任意3个点都不在同一直线上，如果不使图形出现有3个点两两连线，那么最多可连接线段几条？试画出草图.8.如图OC⊥AB于O，OD⊥OE于O，写出图中相等的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿互余的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿互补的角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿9.DGC如图长方形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AE＝BF＝1，CG＝DH＝2HF那么四边形EFGH的面积是＿＿（平方单位）AEB10.如图A，B，C，D四点在同一直线上，到A，B，C，D各点距离之和为最小值的点在什么位置？有几个符合条件的点？距离之和的最小值可用哪些线段的长度来表示？（1987年全国初中数学联赛题）ABCD11.正方形的边长为a，以四条边长为直径，向形内作4个半圆，求这四个半圆相交所成的菊花形面积。12.下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（）（A）(B)(C)(D)13.甲，乙两人沿着圆周同时匀速前进，开始他们位于一条直径的两端，相向而行，第一次相遇时，乙走了100米，第二次相遇时，甲还差60米走完一圈。求这个圆的周长。提示：可设圆周长为x米，并引入参数V甲，V乙列方程组解之14.正方形ABCD边长为a，在点A处有个质点P，在点B处有个质点Q，两个质点同时依反时针方向，沿正方形的边线作匀速的运动，过4秒钟，P在C处追上Q。那么BPA①再过＿＿秒钟，P在＿处第二次追上QP②出发6秒钟时，P，Q这间相距＿＿aQCD4321ABCDEO，宽2cm的长方形纸片1991张，将它们按照下图所示的方法，摆在平面上，那么这1991张纸片覆盖的面积是（）（1991年泉州市初二数学双基赛题）（A）3982（B）3986（C）3990（D）399916.一条线段（与圆相交）可把一个圆分成两部分，问四条线段最多可把圆分成＿＿＿＿部分。（1991年泉州市初二数学双基赛题）17.把一个矩形分成6个正方形（如图），其中最小的一个面积是1（单位平方）那么这个矩形的面积是＿＿＿（单位平方）11