5.初中数学竞赛辅导资料(5)

初中数学竞赛辅导资料（5）an的个位数甲内容提要.1.整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。2.0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。3.2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表：指数12345678910……底数22486248624……33971397139……77931793179……其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1与21，24K＋2与22，24K＋3与23，24K＋4与24的个位数是相同的（K是正整数）。3和7也有类似的性质。4.4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。5.综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a4K＋m与am的个位数相同(k,m都是正整数。乙例题例120032003的个位数是多少？解：20032003与32003的个位数是相同的，∵2003＝4×500＋3，∴32003与33的个位数是相同的，都是7，∴2003的个位数是7。例2试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9，∴632000＋1472002的和个位数是0，∴632000＋1472002的和能被10整除。例3K取什么正整数值时，3k＋2k是5的倍数？例4解：列表观察个位数的规律K＝1234……3的个位数3971……2的个位数2486……3k＋2k的个位数55……从表中可知，当K＝1，3时，3k＋2k的个位数是5，∵am与a4n+m的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数）;∴当K为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。丙练习51，在括号里填写各幂的个位数（K是正整数）220的个位数是（）45的个位数是（）330的个位数是（）87的个位数是（）74K+1的个位数是（）311＋79的个位数是（）216×314的个位数是（）32k-1＋72k-1的个位数是（）72k－32k的个位数是（）74k-1－64k-3的个位数是（）7710×3315×2220×5525的个位数是（）2，目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。3，说明如下两个数都能被10整除的理由。①5353－3333②19871989－199319914，正整数m取什么值时，3m＋1是10的倍数？5，设n是正整数，试说明2n＋7n+2能被5整除的理由。6，若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是＿＿＿若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是＿＿＿若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是＿＿＿若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是＿＿＿7,12+22+32+……+92的个位数是＿＿，12+22+32+……+192的个位数是＿＿，12+22+32+……+292的个位数是＿＿。8.a,b,c是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么b2是（）（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321返回目录参考答案3、张小娴说：当时间过去，我们忘记了我们曾经义无反顾地爱过一个人，忘记了他的温柔，忘记了他为我做的一切。我对他再没有感觉，我不再爱他了。为甚么会这样？原来我们的爱情败给了岁月。首先是爱情使你忘记时间，然后是时间使你忘记爱情。4、张小娴说：思念一个人，不必天天见，不必互相拥有或相互毁灭，不是朝思暮想，而是一天总想起他几次。听不到他的声音时，会担心他。一个人在外地时，会想念和他一起的时光。5、张小娴说：爱情，原来是含笑饮毒酒。6、张小娴说：不被人珍视的爱情，就只是个羞耻的笑话。7、张小娴说：寂寞的人，感冒会拖得特别的久，因为她自己也不想痊愈。8、张小娴：女人放弃一个跟不上她的男人，是有志气。男人放弃一个跟不上他的女人，则是无义。9、张小娴说：清醒一点吧，世上没有未完的事，只有未死的心。10、张小娴说：遗憾，也是一种幸福。因为还有令你遗憾的事情。11、张小娴说：失望，有时候也是一种幸福。因为有所期待，所以才会失望。因为有爱，才会有期待。所以纵使失望也是一种幸福，虽然这种幸福有点痛。12、张小娴说：突然觉得很委屈。我对你微笑，转身的刹那，终于难过成你不知道的样子。13、张小娴说：做一个诚实的孩子。喜欢一个人，不到一定程度，不要轻易去说喜欢。因为你的一句轻浮的话，很可能悲伤另一个人一段时光。也有的，将会是，一生。14、张小娴说：如果没有很大把握，又或者没有坚定地信念，请不要说太长久的承诺。相爱时叫承诺，不爱的时候呢？也不是谎言吧。毕竟爱着的时候就算说了地久天长，相信也是出自真心。只不过后来的离开，不是自己能把握的。15、张小娴说：如果爱的足够深，又或者是用情深的人，那个曾经伤害过TA的人有天肯回头了，TA还是会很没骨气很没出息地接受。因为爱，因为忘不了。16、张小娴说：爱情结束后，请选择“沉默”.你可以喊三两最好的朋友去K歌，使劲吼，就唱那首“其实不想走，其实我想留”,然后在某个时间点突然嚎啕大哭。就算你是男生，也没什么丢人的，不难过只能说你没有真心爱过。17、张小娴说：不要在爱情结束后，把那个你曾经爱过的人到处指责，将TA说的一无是处。没必要的，既然留不住心，不如留下那份感情的纯洁度，蒙了尘，也就减损了回忆的价值。18、张小娴说：你以为不可失去的人，原来并非不可失去，你流干了眼泪，自有另一个人逗你欢笑，你伤心欲绝，然后发现不爱你的人，根本不值得你为之伤心，今天回首，何尝不是一个喜剧？情尽时，自有另一番新境界，所有的悲哀也不过是历史。19、张小娴说：爱情总是想象比现实美丽，相逢如是，告别亦如是。我们以为爱得很深、很深，来日岁月，会让你知道，它不过很浅、很浅。最深最重的爱，必须和时日一起成长。20、张小娴说：开始的开始总是甜蜜的后来就有了厌倦、习惯、背弃、寂寞、绝望和冷笑曾经渴望与一个人长相厮守，后来，多么庆幸自己离开了曾几何时，在一段短暂的时光里，我们以为自己深深的爱着的一个人。后来，我们才知道那不是爱，那只是对自己说谎。21、张小娴说：时间会让你了解爱情，时间能够证明爱情，也能够把爱推翻。没有一种悲伤是不能被时间减轻的。如果时间不可以令你忘记那些不该记住的人，我们失去的岁月又有什么意义？如果所有的悲哀、痛苦、失败都是假的，那该多好？可惜，世上有很多假情假义，自己的痛苦、失败、悲哀，却偏偏总是真的。22、张小娴说：一个钱币最美丽的状态，不是静止，而是当它像陀螺一样转动的时候，没人知道，即将转出来的那一面，是快乐或痛苦，是爱还是恨。快乐和痛苦，爱和恨，总是不停纠缠。所谓缘分，也和发明一样吧，都是源于偶然。爱情也是一种发明，需要不断改良。只是，这种发明跟其他发明不一样，它没有专利权，随时会给人抢走。23、张小娴说：在最有感觉的时候，她没有停下脚步，那么，也不必在一起走完那段路之后，回头去寻找那些散落在地上的感觉，路已经走完。爱情中最伤感的时刻是后期的冷淡，一个曾经爱过你的人，忽然离你很远，咫尺之隔，却是天涯。曾经轰轰烈烈，曾经千回百转，曾经沾沾自喜，曾经柔肠寸断。到了最后，最悲哀的分手竟然是悄无声息。24、张小娴说：有相逢就有别离，可是每个人都害怕别离。大家都知道，最后一次的别离就是死亡。我们口里说“天下无不散之宴席”,心里却舍不得喝掉手中的酒，还想再唱一支歌，再唱一支歌。你可不可以不走？25、张小娴说：世上最凄绝的距离是两个人本来距离很远，互不相识，忽然有一天，他们相识，相爱。距离变得很近。然后有一天，不再相爱了，本来很近的两个人，变得很远，甚至比以前更远。