初中数学竞赛辅导资料(36)三点共线

初中数学竞赛辅导资料（36）三点共线甲内容提要1.要证明A，B，C三点在同一直线上，A。B。C。常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角②连结AB，AC证明AB，AC重合③连结AB，BC，AC证明AB＋BC＝AC④连结并延长AB证明延长线经过点C2.证明三点共线常用的定理有：①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤两圆相切，切点在连心线上⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上乙例题例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB，PN⊥CD求证：M，N，P三点在同一直线上证明：过点P作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180∵PM⊥AB，PN⊥CD∴∠1＝90，∠3＝90∴∠1＋∠3＝180∴M，N，P三点在同一直线上例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点求证：M，O，N三点在同一直线上证明一：连结MO，NO∵MO，NO分别是△DAB和△CAB的中位线∴MO∥AB，NO∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行∴M，O，N三点在同一直线上证明二：连结MO并延长交BC于N，4321ABCDFENMPOABCDMN∵MO是△DAB的中位线∴MO∥AB在△CAB中∵AO＝OC，ON，∥AB∴BN，＝N，C，即N，是BC的中点∵N也是BC的中点，∴点N，和点N重合∴M，O，N三点在同一直线上例3.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90，M，N分别是AB和CD的中点，BC，AD的延长线相交于P求证：M，N，P三点在同一直线上证明：∵∠A＋∠B＝90，∠APB＝Rt∠连结PM，PN根据直角三角形斜边中线性质PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B∴PM和PN重合∴M，N，P三点在同一直线上例4.在平面直角坐标系中，点A关于横轴的对称点为B，关于纵轴的对称点是C，求证B和C是关于原点O的对称点Y解：连结OA，OB，OC∵A，B关于X轴对称，CA∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY∴∠COY＋∠BOX＝90OX∴B，O，C三点在同一直线上∵OB＝OC∴B和C是关于原点O的对称点B例5.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点B的直线EF分别交⊙O1和⊙O2于E，F。求证：AE，AF和⊙O1和⊙O2的直径成比例证明：作⊙O1和⊙O2的直径AM，AN，连结AB，BM，BN∵AM，AN分别是⊙O1和⊙O2的直径∴∠ABM＝Rt∠，∠ABN＝Rt∠N,OABCDMNABPCDMN∴M，B，N在同一直线上∴∠M＝∠E，∠N＝∠F∴△AMN∽△AEF∴AFANAEAM丙练习361.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M，N，P分别是AD，BC，AC的中点求证：M，N，P三点在同一直线上2.已知：△ABC中，BE，CF是中线，延长BE到G，使EG＝BE，延长CF到H，使FH＝CF，求证：G，A，H三点共线3.已知：正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，DE⊥AN于E，求证：点M在DE的延长线上（同33第5）4.求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上5.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分线相交于O，求证：点O在梯形的中位线上6.已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分别是∠B，∠C的邻补角，从点A作∠B，∠C，∠ABM，∠CAN四个角平分线的垂线段AD，AE，AF，AG，垂足是D，E，F，G求证：D，E，F，G四点在同一直线上7.已知：点P在等边△ABC外，PA=PB+PC，以PA为一边作等边△APQ使点Q和点C在PA的同一侧求证：PQ必过点C8.已知：△ABC中，AB=AC，直线AP∥BC，点D和点C是关于直线AP的对称点求证：点D和点B是关于点A的对称点O2O1ABFEMN