初中数学竞赛辅导资料(34)反证法

112初中数学竞赛辅导资料（34）反证法甲内容提要1.反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。2.一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→BAB例如原命题：对顶角相等(真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题)又如原命题：同位角相等，两直线平行(真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题)3.用反证法证明命题，一般有三个步骤：①反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）②归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③结论从而得出命题结论正确例如：求证两直线平行。用反证法证明时①假设这两直线不平行；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。乙例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图∠1＝∠2A1B求证：AB∥CD证明：设AB与CD不平行C2D那么它们必相交，设交点为MD这时，∠1是△GHM的外角A1MB∴∠1＞∠2G这与已知条件相矛盾2∴AB与CD不平行的假设不能成立H∴AB∥CDC例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。113例3.已知：m2是3的倍数，求证：m也是3的倍数证明：设m不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m=3k+2(k是整数)当m=3k+1时，m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1当m=3k+2时，m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。∴m2是3的倍数时，m也是3的倍数例4.求证：2不是有理数证明：假设2是有理数，那么2＝ba（a,b是互质的整数），∵ba=2,∴（ba）2＝2，a2=2b2,∴a2是偶数，∵a2是偶数，∴a也是偶数，设a=2k（k是整数）,a2=4k2,∵由a2=2b2,得b2=21a2=2k2,b2是偶数，∴b也是偶数那么a、b都是偶数，这和“a,b是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立∴2不是有理数例5.若n是正整数，则分数314421nn是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）证明：设314421nn不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为k（k≠1）,且k,a,b都是正整数，即143214314421bknaknbknakn∴214ak＝143bk，3bk-2ak=1,(3b-2a)k=1∵整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是±1时，积才能等于1∴3b-2a=±1,k=±1∴分子、分母有公约数的假设不能成立因此分数314421nn是既约分数114丙练习341.写出下列各命题结论的反面：2.已知：平面内三个点A，B，C满足AB＋BC＝AC，求证：A，B，C三点在同一直线上3.求证：等腰三角形的底角是锐角4.求证：一个圆的圆心只有一个5.求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度6.如果a2奇数，那么a也是奇数（仿例3）7.求证：没有一个有理数的平方等于3(仿例4)8.已知a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2(即a,b,c是勾股数)求证①a,b,c至少有一个偶数②a,b,c中至少有一个能被3整除9.求证二元一次方程8x+15y=50没有正整数解10.求证方程x2+y2=1991没有整数解11.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD求证：ABAC13.已知：抛物线y=x2－(m－3)x－m求证：m不论取什么值，抛物线与x轴的两个交点，不可能都落在正半轴上（福建省1988年中招考试题）14.若a,b,c都是奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根15平面内7个点，它们之间的距离都不相等，求证不存在6个点到第7个点的距离都小于这6个点彼此之间的距离16.已知：a,b,c为实数，a=b+c+1求证：两个方程：x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根（1990年泉州市初二数学双基赛题）参考答案命题的结论结论的反面①直线a∥b②线段m=n③a2是偶数④∠A是锐角⑤点A在⊙O上⑥∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60⑦正整数m是5的倍数⑧方程没有有理数根⑨至少有一个方程两根不相等115练习341.①a和b相交②mn或mn④∠A是直角或钝角⑤点A在⊙O外或在⊙O内⑥∠A，∠B，∠C都小于60⑦m=5k±1，5k±2（k是整数）⑧方程有理数根ab(a是整数，b是正整数，a,b互质)⑨没有一个方程是两根不相等2.设A，B，C三点不在同一直线上，证明AB＋BC＞AC4.设有两个圆心O和O1，经过O和O1的直线和圆交于A，B则……5.5.①设3个都是奇数②设3个都不是3的倍数，可表示为3k±16.设有正整数解x=m,y=n那么m=81550n,∵m0,∴n=1,2,3但这时m都不是整数，∴……7.设有整数解x=a,y=b按奇数、偶数分类讨论∵右边＝1991是奇数，显然，a,b不能同偶数，也不能同奇数，设a,b一奇一偶，a=2m,b=2n+1(m,n都是整数)那么左边＝（2m）2+(2n+1)2＝4(m2+n2+n)+1即左边是除以4余1，而右边是除以4余3，………11.反设：最多只有3只猴子分得一样多，……13.设两个交点（x1,0）,(x2,0)都在X轴的正半轴上，即x10,x20那么x1＋x20,且x1x20∴003mm＞－这个不等式组无解，即这个假设不能成立，……1.设有有理数根mn（n是整数，m是正整数且m,n是互质的）即a(mn)2+b(mn)+c=0,m,n不能同偶数外，按奇数、偶数分3类讨论，逐一否定。2.设点A和其他6个点B，C，D，E，F，G的距离都小于这6个点彼此这间的距离（如图）ABCDEFG116在△ABC中，∵BC＞AB且BC＞AC，∠BAC＞60同理∠CAD＞60………这与1周角＝360相矛盾……16.设……则△1≤0且△2≤0……