初中数学竞赛辅导资料(29)概念的定义

初中数学竞赛辅导资料(29)概念的定义甲内容提要和例题1.概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词(或符号)表现出来的。例如：水果，人，上午，方程，直线，三角形，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。2.概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一概念指的是桃，李，苹果，……这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，3.正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。4.理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：①明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；②明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。5.概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。数学概念的基本定义方式是种属定义法。在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）种属定义法可表示为：被定义的概念＝种概念＋类征（或叫属差）例如：方程＝等式＋含未知数又如：无理数＝小数＋无限不循环或无理数＝无限小数＋不循环再如等腰三角形＝三角形＋有两条边相等6.基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。如点，线，集合等都是基本概念。不定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。例如：几何中的“点”是这样描述的：线与线相交于点。点只表示位置，没有大小，不可再分。“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。7.概念的定义也可用外延法。即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。对同一个概念有时可用几种不同的定义法。例如：“有理数”可定义为①有限小数和无限循环小数叫做有理数。②整数和分数统称有理数。前者是用上位概念“小数”加上类征“有限，无限循环”来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。8.正确的概念定义，要遵守几条规则。①不能循环定义。例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义）②定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。例如若用“无限小数叫做无理数”来定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。③定义用语要简单明确，不要含混不清。④一般不用否定语句或比喻方法定义。9.定义可以反叙。一般地，定义既是判定又是性质。例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。这里“等腰三角形“是被定义的概念，而“有两边相等的三角形”是用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。所以由定义可得等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。10.数学概念要尽可能地用数学符号表示。例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在△ABC中，AB＝AC直角三角形，要写出哪个是直角，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠又如实数a的绝对值是非负数，记作a≥0，“≥”读作大于或等于。11.运用定义解题是最本质的解题方法例如：绝对值的定义，可转化为数学式子表示a＝)0()0(0)0(aaaaa含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后解答。如：化简：1xx可等于)1)(1()10)(1()0)(1(xxxxxxxxx解方程：1x＝2x+1可化为当x-1时，－（x+1）=2x+1；当x≥－1时，x+1=2x+1。解不等式x-1＜2可解两个不等式组：2)1(0-1xx2101xx乙练习291.叙述下列各概念（名词）的定义，并画出图形，用数学符号表示：①算术平方根②开平方③三角形的高④线段的中垂线⑤点到直线的距离⑥两点的距离2.叙述下列各概念（名词）的定义，并指出定义中的“种”概念和“类征”（属差）①锐角②直角三角形③平行四边形④分式方程3.叙述下列各概念（名词）的定义，并举列说明它的外延①整式②有理方程③梯形④平行四边形4.试用外延法定义下列各概念①实数②有理式③非负数5.写出下列各概念的定义，并结合图形，把它说成判定和性质。①等边三角形定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿A如果△ABC中，AB＝BC＝AC，那么＿＿＿＿＿＿＿＿如果△ABC是等边三角形，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿BC②互为余角的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿判定：如果＿＿＿＿＿＿＿＿那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿③三角形中线的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿判定：如果△ABC中，＿＿＿＿＿那么＿＿＿＿＿＿＿性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6.运用定义解题：①当a取值为＿＿＿＿时，代数式22)1(aa是二次根式。②当x____时，代数式xx33有意义③若最简根式131x与315y是同类二次根式，则x=__,y=__.④已知7xn-2my与－3x5y2m-1是同类项，那么m=___,n=___⑤已知m是整数，且61m与47m是同类二次根式，求m的值。⑥已知21yx是方程ax－3y=5的一个解，则a=____⑦已知2是方程5x2＋kx-6=0的一个解,求k值及另一个解⑧已知锐角△ABC中，两条高AD和BE相交于O，求证：∠CAD＝∠CBE⑨解方程211xx（1990年泉州市初二数学双基赛题）⑩解不等式：12x＜321x≥57.已知方程x＝ax+2有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（）（A）a-1(B)a=1(C)a≥1（D）非以上答案（1987年全国初中数学联赛题）