2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案

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2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设集合M={x|x2﹣x<0},N={x||x|<2},则()A.M∩N=∅B.M∩N=MC.M∪N=MD.M∪N=R2.(5分)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则()A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2•lnx(x>0)C.f(2x)=2ex(x∈R)D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)3.(5分)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=()A.B.﹣4C.4D.4.(5分)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m=()A.1B.﹣1C.D.5.(5分)函数的单调增区间为()A.B.(kπ,(k+1)π),k∈ZC.D.6.(5分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB=()A.B.C.D.7.(5分)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A.16πB.20πC.24πD.32π8.(5分)抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是()A.B.C.D.39.(5分)设平面向量1、2、3的和1+2+3=0.如果向量1、2、3,满足|i|=2|i|,且i顺时针旋转30°后与i同向,其中i=1,2,3,则()A.﹣1+2+3=0B.1﹣2+3=0C.1+2﹣3=0D.1+2+3=010.(5分)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=()A.120B.105C.90D.7511.(5分)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为()A.B.C.D.20cm212.(5分)设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有()A.50种B.49种C.48种D.47种二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.(4分)已知正四棱锥的体积为12,底面对角线长为,则侧面与底面所成的二面角等于°.14.(4分)设z=2y﹣x,式中变量x、y满足下列条件:,则z的最大值为.15.(4分)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日.不同的安排方法共有种(用数字作答).16.(4分)设函数.若f(x)+f′(x)是奇函数,则φ=.三、解答题(共6小题,满分74分)17.(12分)ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值.18.(12分)A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为.(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;(Ⅱ)观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望.19.(12分)如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN.(Ⅰ)证明AC⊥NB;(Ⅱ)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量.求:(Ⅰ)点M的轨迹方程;(Ⅱ)的最小值.21.(14分)已知函数.(Ⅰ)设a>0,讨论y=f(x)的单调性;(Ⅱ)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围.22.(12分)设数列{an}的前n项的和,n=1,2,3,…(Ⅰ)求首项a1与通项an;(Ⅱ)设,n=1,2,3,…,证明:.2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)设集合M={x|x2﹣x<0},N={x||x|<2},则()A.M∩N=∅B.M∩N=MC.M∪N=MD.M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集,分别解出再求交集合并集.【解答】解:集合M={x|x2﹣x<0}={x|0<x<1},N={x||x|<2}={x|﹣2<x<2},∴M∩N=M,故选:B.2.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)已知函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则()A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2•lnx(x>0)C.f(2x)=2ex(x∈R)D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法.根据函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称可知f(x)是y=ex的反函数,由此可得f(x)的解析式,进而获得f(2x).【解答】解:函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)是y=ex的反函数,即f(x)=lnx,∴f(2x)=ln2x=lnx+ln2(x>0),选D.3.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=()A.B.﹣4C.4D.【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,可求出该双曲线的方程,从而求出m的值.【解答】解:双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,∴m<0,且双曲线方程为,∴m=,故选:A.4.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m=()A.1B.﹣1C.D.【分析】注意到复数a+bi(a∈R,b∈R)为实数的充要条件是b=0【解答】解:复数(m2+i)(1+mi)=(m2﹣m)+(1+m3)i是实数,∴1+m3=0,m=﹣1,选B.5.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)函数的单调增区间为()A.B.(kπ,(k+1)π),k∈ZC.D.【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i,进而求得x的范围.【解答】解:函数的单调增区间满足,∴单调增区间为,故选C6.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB=()A.B.C.D.【分析】根据等比数列的性质,可得b=a,将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案.【解答】解:△ABC中,a、b、c成等比数列,则b2=ac,由c=2a,则b=a,=,故选B.7.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A.16πB.20πC.24πD.32π【分析】先求正四棱柱的底面边长,然后求其对角线,就是球的直径,再求其表面积.【解答】解:正四棱柱高为4,体积为16,底面积为4,正方形边长为2,正四棱柱的对角线长即球的直径为2,∴球的半径为,球的表面积是24π,故选C.8.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是()A.B.C.D.3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为(m,﹣m2),该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为,由此能够得到所求距离的最小值.【解答】解:设抛物线y=﹣x2上一点为(m,﹣m2),该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为,分析可得,当m=时,取得最小值为,故选B.9.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)设平面向量1、2、3的和1+2+3=0.如果向量1、2、3,满足|i|=2|i|,且i顺时针旋转30°后与i同向,其中i=1,2,3,则()A.﹣1+2+3=0B.1﹣2+3=0C.1+2﹣3=0D.1+2+3=0【分析】三个向量的和为零向量,在这三个向量前都乘以相同的系数,我们可以把系数提出公因式,括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量,当三个向量都按相同的方向和角度旋转时,相对关系不变.【解答】解:向量1、2、3的和1+2+3=0,向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向,且|i|=2|i|,∴1+2+3=0,故选D.10.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=()A.120B.105C.90D.75【分析】先由等差数列的性质求得a2,再由a1a2a3=80求得d即可.【解答】解:{an}是公差为正数的等差数列,∵a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,∴a2=5,∴a1a3=(5﹣d)(5+d)=16,∴d=3,a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B.11.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为()A.B.C.D.20cm2【分析】设三角形的三边分别为a,b,c,令p=,则p=10.海伦公式S=≤=故排除C,D,由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c,故“=”不成立,推测当三边长相等时面积最大,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,进而得到答案.【解答】解:设三角形的三边分别为a,b,c,令p=,则p=10.由海伦公式S=知S=≤=<20<3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c,故“=”不成立,∴S<20<3.排除C,D.由以上不等式推测,当三边长相等时面积最大,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,此时三边长为7,7,6,用2、5连接,3、4连接各为一边,第三边长为7组成三角形,此三角形面积最大,面积为,故选B.12.(5分)(2006•全国卷Ⅰ)设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有()A.50种B.49种C.48种D.47种【分析】解法一,根据题意,按A、B的元素数目不同,分9种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案;解法二,根据题意,B中最小的数大于A中最大的数,则集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,按A、B中元素数目这和的情况,分4种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案.【解答】解:解法一,若集合A、B中分别有一个元素,则选法种数有C52=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C53=10种;若集合A中有一个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C54=5种;若集合A中有一个元素,集合B中有四个元素,则选法种数有C55=1种;若集合A中有两个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C53=10种;若集合A中有两个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C54=5种;若集合A中有两个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C55=1种;若集合A中有三个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C54=5种;若集合A中有三个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C55=1种;若集合A中有四个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C55=1种;总计有49种,选B.解法二:集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,从5个元素中选出2个元素,有C52=10种选法,小的给A集合,大的给B集合;从5个元素中选出3个元素,有C53=10种选法,再分成1、2两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有2×10=20种方法;从5个元素中选出4个元素,有C54=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有3×5=15种方法;从5个元素中选出5个元素,有C55=1种选法,再分成1、4;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