索罗模型

索洛经济增长模型一、问题的提出1.什么因素决定了经济增长？2.经济增长的一般趋势是什么？3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？4.穷国能否赶上富国？二、生产函数1.投入与产出的函数形式))()(),(()(tLtAtKFtY其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]2.生产函数的特性假设（1）规模报酬不变：F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c≥0含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要令c=1/AL,则),(1)1,(ALKFALALKF令有效劳动的人均资本k=K/AL，有效劳动人均产量y=Y/AL，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)（2）边际产品递减：f(k)满足f(0)=0,f’(k)0,f”(k)0，f’(k)是资本的边际产品【证明】Y=ALf(k)两边分别对K、L求导数：资本的边际产品为：)('1)('kfALkALfKY有效劳动的边际产品为：)(')(])()[(')()(2kkfkfALKkALfkfALY（3）稻田条件：)('limkfok,0)('limkfk一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示f(k)k一个特殊的生产函数：C-D生产函数)(),(1ALKALKF，10kALKALKFkf)()1,()(思考：试证明C-D生产函数满足3个特性假设。3．生产投入品的变动假设时间t是连续的（非离散的）（1）劳动力的增长：ntLdttdLtLtL)(/]/)([)(/)(（2）知识的增长：gtAdttdAtAtA)(/]/)([)(/)(其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度思考：L，A为何种形式的增长方式？（指数形式增长，证明）（3）资本的增长：)()(]/)([)(tKtsYdKtdKtK其中s为储蓄率，为资本折旧率，均为外生变量三、平衡增长路径1．k的动态学（1）k(t)的动态方程已知)()()()(tLtAtKtk,先做变换，两边取自然对数)(ln)(ln)(ln)(lntLtAtKtk对t求导数，得：)()()()()()()()(tLtLtAtAtKtKtktk)()()()()()()()()()()()(tktLtLtktAtAtLtAtKtKtKtk代入，有：gtkntktLtAtKtsYtk)()()()()()()()()()()()()(tgktnktktLtAtYs)()()())((tgktnktktksf)()())((tkgntksf)()())(()(tkgntksftk是索洛模型的基本微分方程，它表明)(tk是k的方程。含义说明：人均实际投资))((tksf用于两方面：一是“资本的深化”，即)(tk，二是“资本的广化”（“持平投资”），即)()(tkgn。（2）稳态均衡定义“稳态”：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即)(tk=0。当))((tksf)()(tkgn时，)(tk0（储蓄大于投资）当))((tksf)()(tkgn时，)(tk0（储蓄小于投资）当))((*tksf=)()(*tkgn时，)(tk=0（储蓄等于投资），即实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*。（3）图示：稳态均衡图示1)()(tkgn))((tkf))((tksfk*k稳态均衡图示2)(gnkksf/)(k*k证明：0')(')(]/)([]/)([22kFskkkfkfsdkkkfdsdkkksfdAL稳态均衡图示3（k的相图）)(tkk*k2.平衡增长路径当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？变量含义平衡增长速度备注证明绝对量K资本存量n+gk=K/ALL劳动力nA知识或技术gAL有效劳动n+gY总产出n+gF(cK,cAL)=cF(K,AL)C总消费n+gC=(1-s)Y相对量k(Y/AL)有效劳动的平均资本0K/L人均资本gy(Y/AL)有效劳动的人均产出0y=f(k)=Y/ALY/L人均产出gc(Y/AL)有效劳动的人均消费0c=(1-s)f(k)C/L人均消费gK/Y资本产出比0注意：区分各变量（X）与时间（t）之间的变化关系，即X(t)、lnX(t)、[dX(t)/dt]/X(t)。结论：在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率。四、非均衡动态与收敛考察两个非均衡问题：（1）当经济增长处在非稳态时（k≠k*时）各变量如何向稳态调整？（如何收敛？）（2）向稳态调整有多快？（收敛的速度和时间？）1．非均衡动态定义k的增长率)(/)(/gnkksfkkk，当))((tksf)()(tkgn时，)(tk0；当))((tksf)()(tkgn时，)(tk0。非稳态动态图示1)()(tkgn增长率0))((tkf))((tksf增长率0k*k非稳态动态图示2增长率0增长率0)(gnkksf/)(k*k这表明k离k*越远，其增长率（正或负）越大，即0k。（思考：这意味着什么样的理论预测？与现实是否相符？）接下来，可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动态增长率（X）与k保持比例或线形关系，例如：kKkykfkkfkfkkfyy)](/)('[)(/)('/gnkK因此，对k的非均衡动态分析可以同样适用于X，即0X。结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。2．绝对收敛与相对收敛对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛的概念。条件收敛的图示：kkfspoor/)(kkfsrich/)()(gnk(0)poork*poork(0)richk*richk含义：当穷国人均初始资本存量较小，而富国的储蓄率较高时，富国会比穷国有更高的增长率。因此，一旦控制了稳态的决定的情况下，条件收敛将成立。3．收敛的速度考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快，就集中研究稳态情况，如果收敛的速度很缓慢，研究动态过程就更有意义。关键在考察k以多快的速度趋近k*。由平衡增长的条件可知：)(kkk，在k=k*处对)(kk作一阶泰勒级数近似，可得：*))()((*kkkkkkkk)(*)(')(*gnksfkkkkk)(*)(*)('*)(gnkfkfkgn)](1*)([gnkK因此*])()[*)]((1[)(ktkgnktkK含义：在平衡增长路径上，k向k*收敛的速度与k与k*之间的距离成比例。令*)()(ktktx，“收敛系数”))(1(gnK，则)()(txtx，所以x的路径为extxt)0()(（指数增长），即：*))0((*)())(1(kkektktgnK可以证明，*))0((*)())(1(yyeytytgnK。举例：假设%6gn，K=1/3，则%4（表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。证明：5.0et，1804.0/2ln/)5.0ln(t五、黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平产出、储蓄和消费的关系：有效劳动的平均消费)()(ksfkfc令c=c*（处在平衡增长路径上），则：*)(*)(*ksfkfc由于))((*tksf=)()(*tkgn，所以，*)(*)(*kgnkfc目标为人均消费最大化，令0*/*kc，则gnkfgold*)('，即为最优消费的一阶条件，该*kgold为黄金资本存量水平，最优消费*)(*)(*goldgoldgoldksfkfc，这被称为“黄金分割律”。图示：)('kf)(kf)()(tkgncgold)(ksfk*goldk再考虑储蓄率s变化对消费c*的影响。由平衡增长路径的稳定条件可知：),,,(**gnskk，由此*)(*)(*kgnkfc两边对s求导，有：sgnskgngnskfsc),,,(*)]()),,,(*('[*sgnsk),,,(*0,因此sc*的符号决定于)),,,(*('gnskf与)(gn的大小。当goldkk**，)),,,(*('gnskf)(gn,sc*0当goldkk**，)),,,(*('gnskf)(gn,sc*0因此s与c*的关系为：c*cgoldsgolds六、储蓄率变动的影响下面考察政策控制变量s的变动的影响，包括：（1）对稳态均衡的影响；（2）两个稳态均衡之间的动态路径；（3）对长期增长的影响程度；（4）对长期增长的影响持续时间。1．储蓄率变化的比较静态均衡图示1)()(tkgn)('kfs)(ksfk*k*’k图示2kksf/)(kkfs/)(')(gnk*k*’k2.储蓄率变化的动态影响（1）对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。kt思考：s与k的动态变化有何不同？（2）对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。思考：如何证明？提示：Y/L=Af(k)。Y/L增长率tln(Y/L)t思考：储蓄率变动对K、Y、K/Y的动态影响如何？结论：（1）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。（2）只有技术进步率的变化有增长效应。（3）政策含义：投入驱动的增长不会持续。3.储蓄率变化对产出的长期影响考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出y的影响（弹性分析）。由),,,(**gnskk可知：sgnskkfsy),,,(**)('*由平衡增长的条件0k得到：),,,(*)()),,,(*(gnskgngnsksf两边对s求导数，skgnkfskksf*)(*)(**)('解得：*)(')(*)(*ksfgnkfsk则*)(')()(*)('*ksfgnkfkfsy两边同乘s/y*，并用*)(*)(kgnksf代换s，得到：*)(')()(*)('*)(**ksfgnkfkfkfssyys*)](/*)('*)()[()(*)('*)(*)(2kfkfkgngnkfkfkfkgn*)](/*)('*)()*)[((*)('*)(kfkfkgngnkfkfkgn*)](/*)('*[1*)(/*)('*kfkfkkfkfk定义*)(/*)('*kfkfk为k=k*处的产出的资本弹性*)(kK，它也是资本收入占总收入的份额。（思考：为什么？）因此*)(1*)(**kksyysKK，syys**为产出的储蓄率弹性。举例：设*)(kK=1/3，则syys**=1/2，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。结论：储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出