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2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征——众数、中位数、平均数一、复习众数、中位数、平均数的概念2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛.3、平均数:一般地，如果n个数，那么，叫做这n个数的平均数。12,,...,nxxx121(...)nxxxxn1、求下列各组数据的众数（1）1，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9众数是：3和8（2）1，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9众数是：3若有两个或两个以上的数据出现得最多，且最多的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数.2、求下列各组数据的中位数（1）1，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9（2）1，2，3，3，3，4，8，8，8，9，9中位数是：5中位数是：41.2nn当数据个数为奇数时,第个数据为中位数+122.nnn当数据个数为偶数时，第和个数据的平均值为中位数某企业的33名职工的月工资（单位为：元）如下表——工资5500500035003000250020001500职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数112153203、①求该公司职工工资的平均数、中位数、众数；②假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？③你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？（1）解：平均数：2091；中位数1500；众数1500.（2）解：平均数：3288；中位数1500；众数1500.（3）解：中位数和众数都能反映该公司员工的工资水平，而公司少数的员工工资与大多数人工资差别较大，导致平均数和中位数偏差较大，所以平均数不能反映该公司的平均水平.二、怎么由频率分布直方图求众数，中位数和平均数？例如，在上一节抽样调查的100位居民的月均用水量的数据中，我们得知这一组样本数据的,并画出过这组数据的频率分布直方图.众数=2.3（t）中位数=2.0（t）平均数=2.0（t）现在，观察这组数据的频率分布直方图，能否得出这组数据的众数、中位数和平均数？众数,中位数和平均数频率分布直方图00.10.20.30.40.50.6月均用水量/t0.52.521.5143.534.5频率组距众数？归纳总结得：因为在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，也显示出样本数据落在各小组的比例的大小，所以从图中可以看到，在区间[2，2.5）的小长方形的面积最大，即这组的频率是最大的，也就是说月均用水量在区间[2，2.5）内的居民最多，即众数就是在区间[2，2.5）内。众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。频率分布直方图00.10.20.30.40.50.6月均用水量/t0.52.521.5143.534.5频率组距2.25频率分布直方图00.10.20.30.40.50.6月均用水量/t0.52.521.5143.534.5频率组距0.040.080.150.220.250.140.060.040.02提示：中位数左边的数据个数与右边的数据个数是相等的。频率分布直方图00.10.20.30.40.50.6月均用水量/t0.52.521.5143.534.5频率组距0.040.080.150.220.250.140.060.040.02前四个小矩形的面积和=0.49后四个小矩形的面积和=0.262.02x归纳总结得：在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。在这个频率分布直方图中，左边的直方图的面积代表50个单位，右边的直方图也是代表50个单位，它们的分界线与x轴交点的横坐标就是中位数。中位数在样本数据的频率分布直方图中，就是把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标。思考讨论以下问题：1、2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中原因吗？答：因为样本数据的频率分布直方图，只是直观地表明分布的形状，但是从直方图本身得不出原始的数据内容，直方图已经损失一些样本信息。所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.频率分布直方图00.10.20.30.40.50.6月均用水量/t0.52.521.5143.534.5频率组距0.040.080.150.220.250.140.060.040.02提示：在频率分布直方图中,各个组的平均数如何找？频率分布直方图00.10.20.30.40.50.6月均用水量/t0.52.521.5143.534.5频率组距0.040.080.150.220.250.140.060.040.02.........0.751.752.252.753.253.754.251.250.5提示：与小长方形面积的比例有关吗？频率分布直方图00.10.20.30.40.50.6月均用水量/t0.52.521.5143.534.5频率组距0.040.080.150.220.250.140.060.040.02.........0.751.752.252.753.253.754.251.250.5=0.50.04+0.750.08+1.250.15+1.750.22+2.250.25+2.750.14+3.250.06+3.750.04+4.250.02=2.03x—总结归纳得：平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点。先找出每个小长方形的“重心”，即每小组的平均数，再按比例算出直方图的平均数。平均数在样本数据的频率分布直方图中，等于频率分布图中每个小长方形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。总结：众数：最高矩形的中点的横坐标。中位数：将频率分布直方图划分左右两个相等面积的分界线与x轴交点的横坐标。平均数：每个小矩形的面积乘以中点的横坐标之和。某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，他们的月收入均在[1000，4000）内．现根据所得数据画出了该样本的频率分布直方图如下．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[1000，1500）内）问题：根据该频率分布直方图估计居民的月收入的众数，中位数，平均数.课堂练习1：1、三种数字特征的优缺点1、众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。2、中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。思考讨论：3、平均数与每一个样本的数据有关，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，而且越极端，对平均数的影响就越大。当样本数据质量较差时，用平均数来估计，可靠性不高，可能会与实际情况产生较大的误差。思考讨论1、样本中位数不受少数极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。你能举例说明吗？答：优点：对极端数据不敏感的方法能够有效地预防错误数据的影响。对极端值不敏感有利的例子:例如当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据（如数据录入错误、测量错误等）时，用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值更准确。缺点：（1）出现错误的数据也不知道；（2）对极端值不敏感有弊的例子：某人具有初级计算机专业技术水平，想找一份收入好的工作。这时如果采用各个公司计算机专业技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险：很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很低，其原因是中位数对极小的数据不敏感。这里更好的方法是同时用平均工资和中位数作为参考指标，选择平均工资较高且中位数较大的公司就业.思考讨论3、“用数据说话”，这是我们经常听到的一句话。但是，数据有时也会被利用，从而产生误导。例如，一个企业中，绝大多数人是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入过到几十万元。这时年收入的平均数比中位数大得多。尽管这时的中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工次待遇的指问。你认为“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释？答:我认为这句话是这样解释的：这个企业的老板以员工平均工资收入水平去描述他们单位的收入情况。我觉得这是不合理的，因为这些员工当中，少数经理层次的收入与大多数一般员工收入的差别比较大，所以平均数不能反映该单位员工的收入水平。这个老板的话有误导与蒙骗行为。3、思考讨论假设你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20~100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数据特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？你选择这种数字特征的缺点是什么？答：这里应该采用平均数来表示每一个国家项目的平均金额，因为这能反映所有项目的信息。但平均数会受到极端数据2000万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数相差比较大。三、课堂小结1.学习利用频率直方图估计总体的众数、中位数和平均数的方法。2.介绍众数、中位数和平均数这三个特征数的优点和缺点。3.学习如何利用众数、中位数和平均数的特征去分析解决实际问题。