5.初中数学竞赛辅导资料567

1初中数学竞赛辅导资料（5）an的个位数甲内容提要.1.整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。2.0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。3.2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表：指数12345678910……底数22486248624……33971397139……77931793179……其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1与21，24K＋2与22，24K＋3与23，24K＋4与24的个位数是相同的（K是正整数）。3和7也有类似的性质。4.4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。5.综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a4K＋m与am的个位数相同(k,m都是正整数。乙例题例120032003的个位数是多少？例2试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由例3K取什么正整数值时，3k＋2k是5的倍数？丙练习51，在括号里填写各幂的个位数（K是正整数）220的个位数是（）45的个位数是（）330的个位数是（）87的个位数是（）74K+1的个位数是（）311＋79的个位数是（）216×314的个位数是（）32k-1＋72k-1的个位数是（）72k－32k的个位数是（）74k-1－64k-3的个位数是（）7710×3315×2220×5525的个位数是（）2，目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。3，说明如下两个数都能被10整除的理由。①5353－3333②19871989－199319914，正整数m取什么值时，3m＋1是10的倍数？5，设n是正整数，试说明2n＋7n+2能被5整除的理由。6，若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是＿＿＿若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是＿＿＿2若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是＿＿＿若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是＿＿＿7,12+22+32+……+92的个位数是＿＿，12+22+32+……+192的个位数是＿＿，12+22+32+……+292的个位数是＿＿。8.a,b,c是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么b2是（）（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321初中数学竞赛辅导资料（6）数学符号甲内容提要数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。数学符号一般可分为：1,元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示园和三角形等。2,关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。3,运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。4,逻辑符号：略5,约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a和b中，如果a除以b的商的整数部份记作Z（ba），而它的余数记作R（ba），那么Z（310）＝3，R（310）＝1；又如设x表示不大于x的最大整数，那么2.5＝5，2.5＝－6，32＝0，3＝－3。正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。乙例题例1设Z表示不大于Z的最大整数，＜n为正整数n除以3的余数计算：①〔4.07〕＋〔－732〕－〈13;〉＋〈2004〉②〈〔14.7〕〉＋〔234〕。例2①求19871988的个位数②说明19871989－19931991能被10整除的理由例3.定义一种符号★的运算规则为：a★b=2a+b3试计算：①5★3②（1★7）★4例4设a※b=a(ab+7),求等式3※x=2※(-8)中的x丙练习61，设Q＜x表示有理数x的整数部分，那么Q＜2.15＞＝Q＜－12.3=Q－0.03＞＝Q＜51＞＝2，设｛n｝表示不小于n的最小整数，那么｛4.3｝＝｛－2.3｝＝｛－2｝＝｛－0.3｝＋｛0.3｝＝3，设〔m〕表示不大于m的最大整数①若m=2则〔m〕=②若n=－3.5则〔n〕=③若－1＜Y＜0则〔Y〕＝④若7≤b8则〔b〕＝⑤若〔x〕=4则＿＿≤x＜＿＿⑥若n≤Cn＋1则〔C〕＝4，正整数a和b中，设a除以b的商的整数部分记作Z（ba）余数记作R（ba），ab的个位数记作n（ab）,写出下列各数的结果：①R（733）＋R（52）＝②Z（733）＋Z（52）＝③n(19891990)=5，设n！表示自然数由1到n的連乘积例如5！＝1×2×3×4×5＝120计算：①120÷3!②)!35(!3!56，设=2211baba=a1b2－a2b1计算：①2143＝②1101＝7，定义一种符号＃的运算法则为a＃b=baba22那么①3＃2＝②2＃3＝③（1＃2）＃3＝④（－3）＃（1＃0）＝8，a,b都是正整数，设a⊕b表示从a起b个連续正整数的和。例如2⊕3＝2＋3＋45⊕4＝5＋6＋7＋8己知X⊕5＝2005求X9.设［x］表示不大于x数的最大整数且x＝x－［x］求－＋10.设［a］表示不大于数a的最大整数，例如［2］＝1，［－2］＝－2那么［3x+1］＝2x-21的所有的根的和是＿＿（1987年全国初中联赛题）456初中数学竞赛辅导资料（7）用字母表示数甲内容提要和例题1，用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。2，用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。例如①写出数a的倒数②用字母表示一切偶数解：①当a≠0时，a的倒数是a1②设n为整数，2n可表示所有偶数。3，命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。例题①化简：⑴｜x－3｜（x3）⑵|x+5|解：⑴∵x3,∴x－30，∴｜x－3｜＝－（x－3）＝－x＋3⑵当x≥－5时，｜x＋5｜＝x＋5，当x－5时，｜x＋5｜＝－x－5（本题x表示所有学过的数）例②己知十位上的数是a,个位数是b,试写出这个两位数解：这个两位数是10a+b(本题字母a、b的取值是默认题设有意义,即a表示1到9的整数，b表示0到9的整数)4，用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一般左边作为题设，所用的字母是使左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。例如用字母表示：①分数的基本性质②分数除法法则解：①分数的基本性质是ambmab(m≠0)，mambab(m≠0)a作为左边的分母不另说明a≠0，②dcabcdab(d≠0)d在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。5，用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆用；公式可以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如：乘法分配律，顺用a(b+c)=ab+ac,)17824171616(8121724172=1712逆用5a+5b=5(a+b),6.25×3.14－5.25×3.14=3.14(6.25－5.25)=3.14路程S=速度V×时间T，V=TS(T≠0)，T=VS(V≠0)76，用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。例如：加法的符号法则如果a0，b0，那么a+b0，不可逆绝对值性质如果a0,那么|a|=a也不可逆(若|a|=a则a≥0)7，有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n位数呢？例2_____________________________________________________ACDEB在线段AB上加了3个点C、D、E后，图中共有几条线段？加n点呢？丙练习71，右边代数式中的字母应取什么值？①24x②S正方形=a2③3的倍数3n2，用字母表示：①一切奇数，②所有正偶数，③一个三位数，④n个a相乘的结果，⑤负数的绝对值是它的相反数。3，写出：⑴从1开始，n个自然数的和是______________________⑵从11开始到2n+1連续奇数的和(n5)是__________⑶m个球队进行单循环赛所需场数是_________________4，已知999=103－1,9999=104－1,那么各位数都是9的n位数=_____5，计算112=1112=(n≤10时)=____________________6，写出图中所有三角形并计算其个数，如果线段上有10个点呢？AEBCDO8