高考数学压轴题解法策略研究

第1页共33页高考数学压轴题解法策略研究专题一.函数与导数(一)关于结构图——知识，方法，思维，易错点.1.高中函数知识结构图2.导数知识结构图第2页共33页3.函数的思维方法4.函数的思维特征第3页共33页(二)典型例题例题1.设函数1()lnxxbefxaexx，曲线在点处的切线为.(Ⅰ)求；（Ⅱ）证明：.分析：第一问考查导数的几何意义，面向全体考生；注意函数问题定义域优先的原则！解：（Ⅰ）函数的定义域为，由题意可得故.（Ⅱ）分析：常规方法证明，即证：所以()yfx(1,(1))f(1)2yex,ab()1fx()fx(0,)112()lnxxxxabbfxaexeeexxx(1)2,(1)ffe1,2ab12()ln1xxefxexxmin()1fx11222'()lnxxxxexeefxexxx第4页共33页所以，太复杂了！！无从下手！！再次分析：证明难点在哪里？困难在于存在，求导后还存在，麻烦！！初步思考必须把与分离，怎么分离？不外乎加减乘除！！仔细观察：，其中，定义域别忘了，还有；(1)(2)(3).（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，，从而等价于1212(1)()(ln)xxexfxexxx12ln1xxeexxlnxexlnxexxelnx12ln1xxeexx0xe0x12ln1xxeexx1ln2xxxexex2lnxxxxee2lnxxxxee12ln1xxeexx11ln10xxxeeexxx111(ln)()0xxexexexx12ln1xxeexx2(ln)1xexex12()lnxxfxexex0,0xex()1fx2lnxxxxee第5页共33页设，.若，是否可行？试一试吧！,.当时，，当时，.在上单调递减，在上单调递增.,注意“”,.当时，，当时，.在上单调递增，在上单调递减..综上，时，，,而两个等号不可能同时取到，所以，即.方法二：分析：等价于.等价于.即可.()lngxxx2()xhxxeeminmax()()gxhx()lngxxx()1lngxx1(0,)xe()0gx1(,)xe()0gx()gx1(0,)e1(,)emin11()()gxgee0x2()xhxxee()(1)xxxhxexeex(0,1)x()0hx(1,)x()0hx()hx(0,1)(1,)max1()(1)hxhe0x1()gxe1()hxe()()gxhx()1fx12ln1xxeexx2ln10xxeexex111(ln)()0xxexexexx()()0gxhx第6页共33页，.令，.知在上单调递减，在上单调递增；.，即，当且仅当时取等号.令，.知.，即，当且仅当时取等号.综上所述，当时，，即方法三：分析：题目中有，应该联想到重要熟知的不等式，就能得到下面流畅的证明.用导数易证，当且仅当时取等号.,当且仅当时取等号.于是方法二中，,当且仅当时取等号.，当且仅当时取等号，1(=(ln)xgxexex）11()()xhxexx1()=lnxxex22111(=exxxexex）()x1(0,)e1(,)emin1()()0xe()0x()0gx1xe1()=xxex1()1xxemin()(1)0x()0x()0hx1x0x111(ln)()0xxexexexx()1fx,ln,xexx1xex1xex0x1xex1x11()()0xhxexxxeex1xln(ln)xeexln1x第7页共33页即当且仅当时取等号...(也可以用证明)即，当且仅当时取等号.于是证法2中的，.总结：公式关系清晰，一气呵成！方法四：分析：欲证.即证即可.由方法三，可得，当且仅当取等号.又∵…①当且仅当取等号.∴…②1xe1ln()lnxeex1ln1lnxexeex1()lngxxxe1ln0xex1xe()0gx()1fx1xex1xexxeexln(ln)xeex2ln1xxeexex2(ln)1xexex1ln0xex1xexeex1x21lnxexex第8页共33页∴由①和②可得：，这里关键是等号不能同时成立.∴.方法五：（与方法四证明类似）∵，当且仅当取等号.∴.∴.①∵.∴，当且仅当取等号.∴.②∴由①、②可知.（注意：两个等号不能同时成立）即.方法六：欲证即证.主要还是等价变形.设.则.（这里关键是注意到与2(ln)1xexex()1fx1lnxex1xe1lnxxeexx112lnxxxeeexxx1xex1xex1x11xex12ln1xxeexx()1fx2ln1xxeexex2lnxxxxee()lngxxx()lnxxxxgeeexe()lngxxx()xxgexe第9页共33页之间隐含着复合函数的关系）∴只需证明.由方法一可知，，当且仅当取等号.∴，当且仅当取等号.∴，（两个等号不能同时成立）∴.点评：这种方法实在很难想！基于上述7种方法的思考：看来我们有必要梳理一下，其中重要的不等式：泰勒展开式及其变形.∵这个式子也叫麦克劳林公式.当时，有①即②∵，其中用替换.∴③由②③得：④2()()xgxgee(0,)x1()gxe1xe1()xgee1x2()()xgxgee()1fx211!2!!nxxxxen01x21111xnxexxxx1ln(1)lnln(1)1xxxxln(1)xxx1xxln(1)ln(1)11xxxxxln(1),(01)1xxxxx第10页共33页还有，.⑤注意等号成立条件..⑥加强④可得⑦还有：⑧，（当且仅当取等号）⑨，，，，等等.基于上面的思考:证法7:,当且仅当取等号.，当且仅当取等号....即成立.是否很帅！最后，关注以下函数，课下练习巩固.1、，1xex()xR11xex(1)xln(1),(1)1xxxxxln,()xxxexoln1xx1x1xexxeex1xxee1lnxex1lnxxe1xxee1x1lnxxe1xe11lnxxxxeeelnxxxeexexxee2ln1xxeexex12ln1xxeexx()xfxxe()xfxxe第11页共33页，，2、，，，，3、，，4、，，例2.(2013全国2理科21)已知函数．(1)设是的极值点，求，并讨论的单调性；(2)当时，证明.解：(1)f′(x)＝ex－1x＋m由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ex－1x＋1.函数f′(x)＝ex－1x＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1，0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在(－1，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)证明：方法一：当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)0.当m＝2时，函数f′(x)＝ex－1x＋2在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)0，f′(0)0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．()xfxxe()xxfxe()xefxx()lnfxxx()lnfxxx()lnfxxx()lnxfxxln()xfxx()nxfxxe()nxxfxe()xnefxx()lnnfxxx()lnnxfxxln()nxfxx()ln()xfxexm0x()fxm()fx2m()0fx第12页共33页由f′(x0)＝0得ex0＝1x0＋2，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝1x0＋2＋x0＝（x0＋1）2x0＋20.综上，当m≤2时，f(x)0.方法二：∵时，.∴,当且仅当取等号.又∵∴又∵，当且仅当取等号.∴不等式中前两个等号不可能同时取得.∴.即成立.(上式中，时，，时，，均可以用导数知识证明)总结一：常规方法遇阻碍，分而治之显神奇——泰勒公式藏天机！总结二：分离分类寻零点，对数平均爱偏移——数形结合显神通！1.降龙十八掌——分类讨论，不重不漏！例题3.已知函数,.(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线的切线；(Ⅱ)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质1xln(1)1xxxx+1ln(+2)xx1xm2ln(+2)ln()xxm+1xex0x+1ln(+2)ln()xexxxmln()xexmln()0xexm1xln(+1)xxxR+1xex31()4fxxax()lngxx()yfxmin{,}mn,mn()min{(),()}(0)hxfxgxx()hxa第13页共33页将分为研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.解：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.（Ⅱ）当时，，从而，∴在（1，+∞）无零点.当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.(ⅰ)若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，x1,1,01xxx()hxa()yfxx0(,0)x0()0fx0()0fx3002010430xaxxa013,24xa34ax()yfx(1,)x()ln0gxx()min{(),()}()0hxfxgxgx()hxx54a5(1)04fa(1)min{(1),(1)}(1)0hfggx()hx54a5(1)04fa(1)min{(1),(1)}(1)0hfgfx()hx(0,1)x()ln0gxx()fx3a0a2()3fxxa()fx1(0)4f5(1)4fa第14页共33页所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.(ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；③若＜0，即，由于,，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；3a()fxa()fx30a()fx3a3ax3a()fx()3af21334aa()3af34a()fx()3af34a()fx()3af334a1(0)4f5(1)4fa5344a()fx534a()fx34a54a()hx34a54a()hx第15页共33页当时，有三个零点.考点：利用导数研究曲线