《线性代数§》PPT课件

6.2化二次型为标准形只含有平方项的二次型nnfkykyky2221122称为二次型的标准形（或法式）．例如312322213214542,,xxxxxxxxf都为二次型；23222132144,,xxxxxxf为二次型的标准形.323121321,,xxxxxxxxxf对于二次型,我们讨论的基本问题是:寻求可逆的线性变换x＝Cy,将二次型化为标准形.或：对于实对称矩阵A，寻求可逆阵C，使得TCAC为对角阵.nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,,设),(cCij记记作则上述可逆线性变换可Cyx说明2222211nnTTykykykACyCy就是要使变成标准形经可逆变换要使二次型,2Cyxf.,),,,(212121yyykkkyyynnn.成为对角矩阵也就是要使ACCT;,,1ACCBAfCyx.T变为的矩阵由但其秩不变后二次型经可逆变换如何找矩阵C？一、正交变换法已知结论：对任意实对称矩阵A，一定存在正交矩阵Q，使得112(,,,),nQAQdiag其中12,,,n为矩阵A的n个特征值.因为Q为正交阵，所以1TQQ于是12(,,,),TnQAQdiag由此得到：12222112212212(,,,)().nTnnnnnnfxxxAQAQAQyyyAnQnA，，，，，，，，，，：TTTxx,xy,xx=yy=1对于任一个元二次型存在正交矩阵变换=使得其中是实对称矩定理6.1(主轴阵的个特征值的个列向量是矩阵对应于的标准正交理)特征向量定用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求出将二次型表成矩阵形式;,,,.221nA的所有特征值求出;,,,.321n征向量求出对应于特征值的特;,,,,,,,,,,,,.4212121nnnC记得单位化正交化将特征向量.,.52211nnyyffCyx的标准形则得作正交变换例1:将二次型通过正交变换x=Py化成标准形.f=17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3解:1.写出对应的二次型矩阵.144241422217A2.求A的特征值.144241422217||EA=(–18)2(–9)从而得A的特征值:1=9,2=3=18.3.求特征向量.将1=9代入(A–E)x=0得基础解系:1=(1,2,2)T.将2=3=18代入(A–E)x=0得基础解系:2=(–2,1,0)T,3=(–2,0,1)T.将特征向量正交化:2333222(,),(,)得正交向量组取1=1,2=2,1=(1/2,1,1)T,2=(–2,1,0)T,2=(–2/5,–4/5,1)T.,3,2,1||||iiii,051522,3232311.4554544523将正交向量组单位化,令得.45503245451324525231),,(321P4.作正交变换令于是所求正交变换为:,45503245451324525231321321yyyxxx且有f=9y12+18y22+18y32.（1）几何意义：在自然基坐标系下的二次曲面说明：17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3=1在另一直角坐标系123{,,}下的方程为9y12+18y22+18y32=1.它表示一个椭球面，其主轴与新坐标系的坐标轴重合，主轴长度分别为,,;i123111为A的特征值，{,,}123而变换的矩阵正是由基到基的过渡矩阵。xPyP123{,,}{,,}123（2）一般，(1,2,3)ii的符号决定二次曲面的类型三正：椭球面；两正一负：单页双曲面；一正两负：双页双曲面；二正一0：椭圆柱面一正一负一0：双曲柱面（3）二次型的标准形不是唯一的.(4)正交变换的优点：保持几何形状不变,保持度量.(5)利用正交变换法时，一定有(,,),TniCACdiag12为A的特征值。一般地；(,,),TniCACdiagdddd12不一定是A的特征值，C中的列向量也不一定是A的特征向量.,0111101111011110Af=2x1x2+2x1x3–2x1x4–2x2x3+2x2x4+2x3x4例2:求一个正交变换x=Py,把二次型化为标准形.解:二次型的矩阵为A的特征多项式为.111111111111||EA计算特征多项式:把二,三,四列都加到第一列上,有,1111111111111)1(||EA把二,三,四行分别减去第一行,有1000212022101111)1(||EA1221)1(2.)3()32()1()1(322从而得A的特征值:1=–3,2=3=4=1.当1=–3时,解方程组(A+3E)x=0,得基础解系:,11111.1111211p单位化即得当2=3=4=1时,解方程组(A–E)x=0,可得正交的基础解系:,1111,1100,0011232.21212121,212100,002121432ppp单位化即得:于是正交变换为:yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121且有f=–3y12+y22+y32+y42.例4已知二次型经过正交变换化为标准形求的值和正交矩阵.(,,)fxxxxaxxbxxxxxx222123123121323222xPy(,,)fyyyyy22123234,abP解：二次型和标准形的矩阵分别为：,bAba110111114由题设条件又TPAPTPP1故与相似，从而A有特征值A,,123014所以有()bbabb21231110140101111又aaaaa112233123110143故A111131111由解方程组得特征向量：10()AIx00(,,)T1101由解方程组得特征向量：11()AIx0(,,)T1111由解方程组得特征向量：14()AIx40(,,)T1121单位化得：(,,),(,,),(,,)TTTPPP123111101111121236正交矩阵为：(,,)PPPP123111236120361112361.实二次型的化简问题,在理论和实际中经常遇到,通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系,将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵,而这是已经解决了的问题,请注意这种研究问题的思想方法.2.实二次型的化简,并不局限于使用正交矩阵,根据二次型本身的特点,可以找到某种运算更快的可逆变换.下一节,我们将介绍另一种方法——拉格朗日配方法.二、拉格朗日配方法用正交变换化二次型为标准形,其特点是保持几何形状不变.问题:有没有其它方法,也可以把二次型化为标准形?问题的回答是肯定的.下面首先介绍——拉格朗日配方法.1.若二次型含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线性变换,就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项,但是aij0(ij),则先作可逆线性变换:kkjijjiiyxyyxyyx化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方法配方.(ki,j).例5:化二次型为标准形,并求所用的线性变换矩阵.f=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3f=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3解:用含有x1的项配方含有平方项=x12+2x1x2+2x1x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2–x22–x32–2x2x3+2x22+5x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2+x22+4x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)23332232112xyxxyxxxy3332232112yxyyxyyyx.100210111321321yyyxxx令所用变换矩阵为.01||,100210111CCf=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3=y12+y22,33212211yxyyxyyx解:由于所给二次型中无平方项,.100011011321321yyyxxxf=2x1x2+2x1x3–6x2x3例6:化二次型为标准形,并求所用的线性变换矩阵.所以令即代入二次型f=2x1x2+2x1x3–6x2x3,得f=2y12–2y22–4y1y3+8y2y3再配方,得333223112yzyyzyyzf=2(y1-y3)2–2(y2–2y3)2+6y32.令,233322311zyzzyzzy.100210101321321zzzyyy即f=2z12–2z22+6z32.得所用变换矩阵为100210101100011011C100111311|C|=–20.用配方法时要注意所用的变换是否为可逆变换.按上述标准程序配方时一定是可逆变换.三、初等变换法定理：对任一个n阶实对称矩阵A，都存在可逆阵C，使得12(,,,)TnCACdiagddd即：任一n阶实对称矩阵A，都可以通过一系列同类型的初等行、列变换化为对角阵.1、同类型的初等行列变换：当C可逆时，一定存在一列初等矩阵，使得kCPPP12于是：(,,,)TTTTkknCACPPPAPPPdiagddd211212且kkCPPPPPPI1212注意到,()(),()()TTTijijiiijjiEEEkEkEkEk所以TTTkkPPPAPPP2112表示对A进行同类型的初等行，列变换.2、可将对称矩阵A化为对角阵－－用数学归纳法证明证明：对A的阶数n用数学归纳法当n＝1时，显然成立。假设结论对n－1阶对称矩阵成立，那么对于nnnnnnaaaAaaaaaa112112222121（1）若a110先做arra122111可将第二行的a12变为0再做acca122111可将第二列的a12变为0继续做下去，可将第一行和第一列的其余元素变为0，得到的矩阵：aAA11100