线性代数课件1-1

绪论问题描述：Lagrange定理：给定n+1个不同点，插值这n+1当我们手里握着n+1个黄豆，随意抛到地平面上，建立直角坐标系，每个黄豆将占据一点，求一条n次多项式曲线插值这n+1个点？个不同点的n次多项式曲线存在且唯一.比如：100个黄豆，99次多项式曲线.9999221099)(xaxaxaaxP100个黄豆：),(,),,(10010011yxyx10099100992001200110199199212110yxaxaxaayxaxaxaa用高斯消元法求解麻烦！寻找新工具便于用计算机求解4个黄豆模拟绪论一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定线性代数的中心内容：线性方程组求解解的存在性解的结构由高斯消元法引入两个求解工具行列式矩阵一个中心方法：矩阵的初等行变换一次方程第一章§1行列式的定义本节我们将讨论：方程个数和未知数个数相同，且系数满足特定条件的线性方程组的求解，从而得到行列式这个工具.本节结构二阶行列式的引出三阶行列式的引出n阶行列式的引出四类特殊行列式计算克拉默（Cramer）法则我们从最简单的二元方程组出发，探索其解的规律.,22221211212111bxaxabxaxa1222(1)a12(2)a一、二阶行列式的引出)112212211122122aaaaxbaab（）用高斯消元法求其解：2112122122212aaxaaxba1122112222122aaxaaxba.,22221211212111bxaxabxaxa1212112212212112121aaaaxabba（）2111122112211aaxaaxba1211(2)a21(1)a)1121112212121aaxaaxba.,22221211212111bxaxabxaxa112212211122122112212212112121aaaaxbaabaaaaxabba（）（）时，当021122211aaaa方程组有唯一解，211222112122211aaaabaabx.211222112112112aaaaabbax)3(请观察，此公式有何特点？1、分母相同，由方程组的四个系数确定.2、分子分母都是两数乘积之差.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表)4(22211211aaaa11221221aaaa数称为数表（4）所确定的二阶行列式,记为11122122aaaa用二阶行列式表示两数乘积之差二阶行列式定义主对角线副对角线对角线法则2211aa.2112aa二阶行列式的计算11122122aaaa11122122aaDaa.,22221211212111bxaxabxaxa系数行列式122122111221221baabxaaaa112121211221221abbaxaaaa112122212222babababa111112211212abababab1D2D11DxD22DxD于是.,22221211212111bxaxabxaxa112212211122122112212212112121aaaaxbaabaaaaxabba（）（）时，当021122211aaaa方程组有唯一解时当0D2211DDxDDxDDxDDx22112211112222121122211211,,babaDababDaaaaD例1.12,12232121xxxx解1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.3721求解二元线性方程组二、三阶行列式的引出112233DxDDxDDxD333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa进行高斯消元可以得到：112233122331132132112332122133132231Daaaaaaaaaaaaaaaaaa其中1122331223313232123321223313223Dbaaaabababaaabaaab2112331233113213112331213313231Dababaaaabaabbaaaba3112231223112132112321221312231Daabababaaabaaabbaa1231230,,DDDDxxxDDD当时，三元线性方程组的解为：三阶行列式定义333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表行个数排成设有记,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa112332aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa三阶行列式的计算D111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb333231232221131211aaaaaaaaaD,3332323222131211aabaabaabD,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD例2解线性方程组.0,132,22321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式111312121D1111321211111221315,0,5,10,5故方程组的解为:,111DDx,222DDx.133DDx1103111221D1013121212D0111122213D二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的..2112221122211211aaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa对角线法则二阶与三阶行列式的计算例3使求一个二次多项式,xf.283,32,01fff解设所求的二次多项式为,2cbxaxxf由题意得,01cbaf,3242cbaf,28393cbaf又,020139124111D.20,60,401328123110321DDD得,21DDa,32DDb13DDc2231.fxxx故所求多项式为三、n阶行列式的引出由二元方程组（两个变量、两个方程）求解得二阶行列式由三元方程组（三个变量、三个方程）求解得三阶行列式……由n元方程组（n个变量、n个方程）求解得n阶行列式nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211122221211121211101111nnnnaaaaD大胆猜测当时,DDxDDxnn11iD是用nbbb21替换Dniiiaaa21而得.中的第i列但是四阶及以上阶行列式没有对角线法则-----正确求解线性方程组的解说明:观察二阶与三阶行列式的计算n阶行列式的计算原则共同特性之一是对角线法则；并试图推广到n阶行列式，且能正确求解方程组.于是寻找二阶和三阶行列式计算的其它共性,预备知识--全排列及其逆序数元素的全排列把n个不同的元素排成一列，叫做这n个标准次序：由小到大的次序时，就说有一个逆序。当某两个元素的先后次序与标准次序不同一个排列中的所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.例如排列54231t=95前面比5大的数有0个；4前面比4大的数有1个；2前面比2大的数有2个；3前面比3大的数有2个；1前面比1大的数有4个.t=0+1+2+2+4=954231自然排列若一个排列中的所有元素按标准次序排列，则称之为标准排列或自然排列.逆序数为奇数的排列叫做奇排列；逆序数为偶数的排列叫做偶排列.观察二阶行列式11a12a22a12a2211aa.2112aa②不同行不同列2个元素的乘积；③1项为正,1项为负；①2！项的代数和；观察二阶行列式11a12a22a21a2211aa.2112aa④当行标调成标准排列时列标排列逆序数tt)1(12210+-1332211aaa.322311aaa观察三阶行列式322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa①3!项代数和②不同行不同列三个元素的乘积③三项为正,三项为负.333231232221131211aaaaaaaaaD332211aaa.322311aaa观察三阶行列式322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa④当行标调成标准排列时列标排列逆序数tt)1(1230+2312+3122+3213-2131-1321-n阶行列式定义将n2个数排成n行n列的数表，按下列规!21111121)1(nnppptnnnnnaaaaaaaD称为n阶行列式,其中t为列标排列的逆序数。则计算出的数，即n阶行列式定义的三个要点（1）是n!项的代数和；如果一个行列式有一行（或一列）的元素全为零，则此行列式的值必为零。（2）每一项的符号由逆序数的奇偶性确定；（3）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积（这样的项恰有n!项）.由行列式的定义不难看出：四、思考与讨论10001200533047940004003002001000=-24or24?24五、四类特殊行列式计算121000000000000nnDLLLLLLLLL1）主对角行列式121nnL2）副对角行列式12,11,21000000000000nnnnaaDaaLLLLLLLLL(1)212,11(1)nnnnnaaaL的逆序数为11nn(1)2nn11212212000nnnnaaaDaaaLLLLLLL3）下三角行列式1122nnaaaL11121222000nnnnaaaaaDaLLLLLLL4）上三角行列式1122nnaaaLn阶行列式也可以定义为：1212(1)ntpppnDaaaKK六、关于克拉默（Cramer）法则非齐次线性方程组1111111nnnnnnnaxaxbaxaxb（１），定理１非齐次线性方程组（１），当11110nnnnaaDaa,有唯一解11nnDxDDxD非齐次线性方程组i0,0DD定理２非齐次线性方程组（１）,0D1111111nnnnnnnaxaxbaxaxb（１），可能无解，可能有无穷多解．时有无穷多解120nDDDD无解齐次线性方程组11111100nnnnnnaxaxaxax（２）0D0D定理３齐次线性方程组（２），定理４齐次线性方程组（２），时有非零解．时只有零解．思考题：111111113D当取何值时有唯一解？322