2014《步步高》高考数学第一轮复习12-正态分布

§12.7正态分布2014高考会这样考1.考查根据正态密度曲线的对称性计算概率；2.考查3σ原则的实际应用．复习备考要这样做1.了解正态分布与正态曲线的概念，掌握正态分布的对称性；2.能根据正态分布的性质求正态随机变量在特定区间上的概率．1．正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线随着__μ__的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．2．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝ʃbaφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.997_4.[难点正本疑点清源]1．正态曲线的对称性正态曲线的函数φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2.很显然，当μ＝0时，φμ，σ(x)＝12πσe－x22σ2是偶函数，关于y轴对称；当μ≠0时，对称轴为x＝μ，所以正态曲线是一个轴对称图形，很多关于正态分布的概率问题，都是根据其对称性求解．2．3σ原则通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称为3σ原则．正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．1．已知ξ～N(0，σ2)且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ2)＝________.答案0.1解析∵P(0≤ξ≤2)＝P(－2≤ξ≤0)＝0.4，∴P(ξ2)＝12(1－2×0.4)＝0.1.2．若X～N(0,1)，且P(X1.54)＝0.9382，则P(|X|1.54)＝________.答案0.8764解析由正态曲线的对称性知P(X≥1.54)＝P(X≤－1.54)．又P(X≥1.54)＝1－P(X1.54)＝1－0.9382＝0.0618∴P(X≤－1.54)＝0.0618，∴P(|X|1.54)＝P(－1.54X1.54)＝P(X1.54)－P(X≤－1.54)＝0.9382－0.0618＝0.8764.3．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18πe－x－1028，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10答案B解析由18πe－x－1028＝12π·σe－x－μ22σ2，可知σ＝2，μ＝10.4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，则c等于()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是c＋1＋c－12＝2，∴c＝2.5．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2答案C解析∵P(ξ4)＝0.8，∴P(ξ4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ0)＝P(ξ4)＝0.2，∴P(0ξ4)＝1－P(ξ0)－P(ξ4)＝0.6.∴P(0ξ2)＝12P(0ξ4)＝0.3.题型一正态曲线的性质例1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(－4,4]的概率．思维启迪：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4X≤4)＝P(0－4X≤0＋4)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.探究提高解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)和N(μ2，σ22)(σ20)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1μ2，σ1σ2B．μ1μ2，σ1σ2C．μ1μ2，σ1σ2D．μ1μ2，σ1σ2答案A解析根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.题型二服从正态分布的概率计算例2某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度曲线如图所示．(1)求总体随机变量的期望和方差；(2)求成绩X位于区间(52,68]的概率．思维启迪：根据正态分布图象的特征进行求解．解(1)从给出的密度曲线图可知，该正态曲线关于x＝60对称，最大值为142π，∴μ＝60，142π＝1σ2π，解得σ＝4.∴φμ，σ(x)＝142πe－x－60232，x∈[0,100]，∴总体随机变量的期望是μ＝60，方差是σ2＝16.(2)成绩X位于区间(52,68]的概率为P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544.探究提高求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，找所求概率和参数μ、σ的关系，利用3σ原则．(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．(2)若X～N0，19，则X落在(－∞，－1]∪(1，＋∞)内的概率为________．答案(1)0.1(2)0.0026解析(1)由正态分布的特征易得P(ξ2)＝12×[1－2P(0ξ1)]＝12×(1－0.8)＝0.1.(2)∵μ＝0，σ＝13，∴P(X≤－1或x1)＝1－P(－1X≤1)＝1－P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.题型三正态分布的应用例3已知电灯泡的使用寿命X～N(1500,1002)(单位：h)．(1)购买一个灯泡，求它的使用寿命不小于1400小时的概率；(2)这种灯泡中，使用寿命最长的占0.13%，这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时？思维启迪：(1)先求P(X1400)，再求P(X≥1400)；(2)设使用寿命最长的灯泡寿命至少为x0小时，重点分析P(X－1500≥x0－1500)如何求．解(1)P(X≥1400)＝1－P(X1400)＝1－1－P1400X≤16002＝1＋0.68262＝0.8413.(2)设这部分灯泡的使用寿命至少为x0小时，则x01500，则P(X≥x0)＝0.13%.P(X－1500≥x0－1500)＝1－P|X－1500|x0－15002＝0.13%，P(|X－1500|x0－1500)＝1－0.26%＝0.9974，所以x0－1500＝300，x0＝1800(小时)．探究提高解答此类题目关键是利用正态曲线的对称性表示出所给区间的概率．利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．解(1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.∴P(80ξ≤120)＝P(100－20ξ≤100＋20)＝0.9544，即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.9544.(2)P(90ξ≤110)＝P(100－10ξ≤100＋10)＝0.6826，∴P(ξ110)＝12(1－0.6826)＝0.1587，∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.1587＝0.8413.∴及格人数为2000×0.8413≈1683(人)．正态分布中概率计算错误典例：(5分)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为()A．0.3%B．0.23%C．1.5%D．0.13%易错分析解本题易出现的错误主要有以下两个方面：一是对正态分布的理解不深刻，不能正确地得出该正态分布的两个重要参数μ和σ，导致计算无从下手；二是对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不扎实，导致计算出错．解析依题意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140，而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.9974，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占百分比约为99.74%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.74%2＝0.13%.答案D温馨提醒在正态分布中，数值计算问题是高考考查的一个热点，往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，那么随机变量ξ在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内取值的概率分别约为0.6826,0.9544，0.9974，应牢记这几个概率值，在解决正态分布问题时，经常用到这类数值的计算.方法与技巧1．熟练地掌握正态曲线的解析式φμ，σ(x)＝12πσ·e－x－μ22σ2，x∈R.注意结构特点，特别是参数σ的一致性．2．理解正态曲线的形状特征，如对称轴、顶点变化趋势等．3．若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.失误与防范在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数μ，σ求出，然后确定三个区间(范围)：(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]与已知概率值进行联系求解．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－x－μi22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则()A．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3B．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3C．μ1＝μ2μ3，σ1σ2＝σ3D．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3答案D解析正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2σ3.2．设随机变量X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(0≤X≤2)的值是()A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6答案B解析正态曲线关于直线x＝0对称，∵P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(0≤X≤2)＝0.4.3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X4)等于()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.158