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思维特训(二十)角的计算中的数学思想方法点津·方程思想：有关角度比的问题(或倍及几分之一)常常通过列方程求解．分类讨论思想：角的分类主要考虑从角的顶点引一条射线，射线可能在角的外部或内部．整体思想：整体思想在角的计算中主要体现在有公共顶点和公共边的两个角的和或差一定时，它们的角平分线的夹角也是一个定值．典题精练·类型一方程思想1．如图20－S－1，∠BOC－∠AOB＝20°，∠BOC∶∠COD∶∠DOA＝2∶3∶5，求∠COD的度数．图20－S－12．已知角α，β都是锐角，γ是钝角．(1)在计算13(α＋β＋γ)的度数时有三名同学分别算出了119°，120°，121°这三个不同的结果，其中只有一个是正确的答案，根据以上信息，求α＋β＋γ的度数；(2)在(1)的情况下，若锐角β比锐角α小1°，γ是α的两倍，求γ的补角的度数．类型二分类讨论思想3．【问题提出】已知∠AOB＝70°，∠AOD＝12∠AOC，∠BOD＝3∠BOC(∠BOC＜45°)，求∠BOC的度数．【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．当射线OC在∠AOB的内部时，若射线OD在∠AOC的内部，如图20－S－2①，可求∠BOC的度数，解答过程如下：设∠BOC＝α，所以∠BOD＝3∠BOC＝3α，所以∠COD＝∠BOD－∠BOC＝2α.因为∠AOD＝12∠AOC，所以∠AOD＝∠COD＝2α.所以∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝2α＋3α＝5α＝70°，所以α＝14°，所以∠BOC＝14°.问：当射线OC在∠AOB的内部时，若射线OD在∠AOB的外部，如图②，请你求出∠BOC的度数．【问题延伸】当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数．【问题解决】综上所述，∠BOC的度数是________．图20－S－24．已知O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧(如图20－S－3(a)所示)时，①若∠COF＝25°，则∠BOE＝________；②若∠COF＝α，则∠BOE＝________．(2)当点C与点E，F在直线AB的两旁(如图20－S－3(b)所示)时，(1)中第②式的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由．图20－S－3类型三整体思想5．如图20－S－4，O直线AB上一点，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE.(1)若∠BOD＝28°，求∠DOE和∠FOE的度数．(2)若改变∠BOD的度数，试猜想∠DOF的度数是否发生改变？若不改变，请直接写出∠DOF的度数；若改变，请说明理由．图20－S－46．从点O发出的三条射线OA，OB，OC，其中∠AOB＝80°，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC.(1)如图20－S－5，射线OC落在∠AOB的内部，求∠MON的度数；(2)当射线OC落在∠AOB的外部时，画出图形，求∠MON的度数；(3)在(2)的条件下，当∠AOB＝α时，求∠MON的度数(直接写出结果)．图20－S－5详解详析1．解：因为∠BOC∶∠COD∶∠DOA＝2∶3∶5，所以设∠BOC＝2x°，∠COD＝3x°，∠DOA＝5x°，则∠AOB＝360°－10x°.因为∠BOC－∠AOB＝20°，所以2x－(360－10x)＝20，解得x＝953，所以∠COD＝3x°＝95°.2．解：(1)因为α，β是锐角，γ是钝角，所以0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，90°＜γ＜180°，所以α＋β＋γ＜360°.因为3×119°＝357°，3×120°＝360°，3×121°＝363°，所以α＋β＋γ＝357°.即α＋β＋γ的度数是357°.(2)设α为x°，则β为(x－1)°，γ为2x°，根据题意，得x＋(x－1)＋2x＝357，解得x＝89.5，γ＝2×89.5°＝179°，180°－179°＝1°.故γ的补角的度数为1°.3．解：问题思考：设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝2α.因为∠AOD＝12∠AOC，所以∠AOD＝13∠COD＝23α，所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－23α＝73α＝70°，所以α＝30°，所以∠BOC＝30°.问题延伸：当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB，因为∠BOC＜45°，∠AOD＝12∠AOC，所以射线OD的位置也只有两种可能：①若射线OD在∠AOB内部，如图①所示，设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α，所以∠AOD＝∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α，所以∠AOB＝∠BOD＋∠AOD＝3α＋4α＝7α＝70°，所以α＝10°，所以∠BOC＝10°；②若射线OD在∠AOB外部，如图②，设∠BOC＝α，则∠BOD＝3α，所以∠COD＝∠BOC＋∠BOD＝4α.因为∠AOD＝12∠AOC，所以∠AOD＝13∠COD＝43α，所以∠AOB＝∠BOD－∠AOD＝3α－43α＝53α＝70°，所以α＝42°，所以∠BOC＝42°.问题解决：综上所述，∠BOC的度数是14°或30°或10°或42°.4．解：(1)因为OF是∠AOE的平分线，所以∠EOF＝12∠AOE.因为∠COE＝90°，所以∠EOF＝90°－∠COF，所以90°－∠COF＝12∠AOE，而∠AOE＋∠BOE＝180°，所以90°－∠COF＝12(180°－∠BOE)，所以∠BOE＝2∠COF.①当∠COF＝25°时，∠BOE＝2×25°＝50°；②当∠COF＝α时，∠BOE＝2α.(2)第②式的结论仍然成立．∠BOE＝2∠COF.理由如下：因为OF是∠AOE的平分线，所以∠EOF＝12∠AOE.因为∠COE＝90°，所以∠EOF＝90°－∠COF.而∠AOE＋∠BOE＝180°，所以90°－∠COF＝12(180°－∠BOE)，所以∠BOE＝2∠COF.5．解：(1)因为OD平分∠BOE，∠BOD＝28°，所以∠DOE＝∠BOD＝28°，所以∠AOE＝180°－2∠BOD＝124°.又因为OF平分∠AOE，所以∠FOE＝12∠AOE＝62°.(2)若改变∠BOD的度数，∠DOF的度数不发生改变．理由如下：因为OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∠AOE＋∠BOE＝180°，所以∠EOF＋∠EOD＝12(∠AOE＋∠BOE)＝90°，即∠DOF＝90°.6．解：因为OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，所以∠MOC＝12∠AOC，∠NOC＝12∠BOC.(1)∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝12∠AOC＋12∠BOC＝12(∠AOC＋∠BOC)＝12∠AOB＝40°.(2)如图，反向延长OA，OB到G，H.分三种情况考虑：(i)当OC落在∠AOH内时，可得∠MON＝∠NOC－∠MOC＝12∠BOC－12∠AOC＝12(∠BOC－∠AOC)＝12∠AOB＝40°；(ii)当OC落在∠BOG内时，可得∠MON＝∠MOC－∠NOC＝12∠AOC－12∠BOC＝12(∠AOC－∠BOC)＝12∠AOB＝40°；(iii)当OC落在∠HOG内时，可得∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝12∠AOC＋12∠BOC＝12(∠AOC＋∠BOC)＝12(360°－∠AOB)＝140°.综上可得，∠MON的度数为40°或140°.(3)归纳总结得：当∠AOB＝α时，∠MON＝12α或180°－12α.