湖南师范大学高等数学-2.6微分中值定理

§2.6微分中值定理2.6.1罗尔定理2.6.2拉格朗日中值定理2.6.3柯西中值定理基本内容基本要求1.掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件及结论，了解几个定理之间的关系;2.了解罗尔定理和拉格朗日中值定理的几何意义；3.会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理证明有关命题和不等式：如证明在某开区间内至少存在一点满足……，或讨论方程在给定区间内根的存在性和根的个数等。2.6.1罗尔(Rolle)定理)()(bfaf.0)(f使得abxyo)(xfyC12定理1(Rolle)若函数.)(xf满足条件：],[ba(1)在闭区间上连续；),(ba(2)在开区间内可导；(3)),(ba则至少存在一点几何意义：在定理的条件下,区间),(ba内至少存在))(,(f一点具有水平切线。，使得曲线在点证,)1(mM若,],[)(上连续在baxf.mM和最小值必有最大值.)(Mxf则.0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有,)2(mM若),()(bfaf.取得最值不可能同时在端点),(afM设.)(),(Mfba使内至少存在一点则在),()(fxf,0)()(fxf,0x若;0)()(xfxf则有,0x若;0)()(xfxf则有;0)()(lim)(0xfxffx;0)()(lim)(0xfxffx,)(存在f,0)()(ff从而.0)(f由极限的保号性,导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点,临界点).例验证函数1074)(23xxxxf在区间2,1上满足罗尔定理的条件,并求出满足0)(f.的点故满足罗尔定理的条件..3374,337421xx0)(xf令12x,3374)2,1(2x.0)(f满足)(xf2,1)2,1(证上连续,在为多项式,在区间0)2()1(ff内可导,783)(2xxxf,又注1.罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例1,10,0,1)(xxxxf不满足罗尔定理的第1个条件,显然无水平切线.2.定理中的条件是充分的,非必要的.1,1,)(xxxf例2个条件,显然无水平切线.不满足罗尔定理的第2,0,sin,1)(xxxxf例3虽不满足罗尔定理的第3个条件,但仍有且0)(2xxf).,0(2)3)(2)(1()(xxxxf例4设0)(xf有且仅有两个实根，并指出根存在的区间.，证明]2,1[]3,2[在区间和上.),3,2(),2,1(21,0)(,0)(21ff使得为二次函数，最多有两个实根，故)(xf0)(xf有且仅有两个根，且分别位于)2,1()3,2(和内。又证方程0)(xf3,2,1321xxx，分别有解由定理1，可知2.6.2拉格朗日中值定理abafbff)()()(或写成).)(()()(abfafbf也成立.上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于ab定理2(Lagrange)设函数)(xf满足条件：（1）在闭区间],[ba上连续；),(ba（2）在开区间内可导；),(ba则在内至少存在一点，使得几何意义:分析:弦AB方程为).()()()(axabafbfafy,)(ABxf减去弦曲线如果连续曲线)(xfy.)),(,(ABfAB线平行于弦在该点处的切点上至少有一在曲线弧ab12xCxy0AB).()(bfaf条件中仅比罗尔定理少则所得曲线两端点A、B处的函数值相等.因而考虑利用罗尔定理证明.上除端点外处处x具有不垂直于轴的切线,则证作辅助函数0)()()(abafbff即)].()()()([)()(axabafbfafxfx)(x满足罗尔定理的三个条件,.0)(,),(使得内至少存在一点则在baabafbff)()()(拉格朗日中值公式).)(()()(abfafbf或.)()())(()(xafbfabxfx注:辅助函数不唯一,也可令上述公式对于ab也成立.拉格朗日中值定理也称为有限增量定理.)10(,)()()(xxxfxfxxf或写成).10(,)(xxxfy上述公式称为有限增量公式。设xxba,为,x上任意两个点,由))(()()(abfafbf可得注意定理中的条件是充分的,非必要的.注1有限增量公式注2拉格朗日中值公式这区间内某点处的导数之间的关系.准确关系式.x(不一定很小)).10(,)(xxxfyxy与函数增量给出了自变量的有限增量之间的精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在).)(()()(abfafbf定理2,得),)(()()(1212xxfxfxf).,(ba由),(,21baxx的任意性可知，)(xf为常数.).,(,)(),(,0)(baxCxfbaxxf其中C为常数.),(,0)(baxxf,0)(f从而).()(21xfxf推论设函数),(ba)(xf0)(xf内可导,且在开区间则在),(ba)(xf即为常数.内证),(,21baxx21xx21,xx,在上应用,不妨设例5验证函数12xxy2,0在区间上满足拉12xxy证2,0为二次函数，故在上连续,.122)0()2(ff使得由1)0(,7)2(ff.1得格朗日中值定理的条件,并求出定理中的值.在)2,0(满足定理2的条件，从而)2,0(内可导,例6证明.2cotarctanxarcx证令,cotarctan)(xarcxxf.01111)(22xxxf所以.2cotarctanxarcxCxf)(2441cot1arctanarc,即.2C又证1),1ln()(xxf设)0(),0)(()0()(xxffxf,2],0[)(的条件上满足定理在xxf0x例7证明:当.)1ln(1xxxx时,,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xx,11xxxx.)1ln(1xxxx即x0又,11111xx111)11()11)(()1()1(xxffxfxx1ln)1ln(xx)1ln(即x11由.1xxxx.)1ln(1xxxx即证2取,在xxfln)(x1,1上应用定理2,得2.6.3柯西中值定理定理3(Cauchy)设满足条件：)()(xgxf与.,)()()()()()(bagfagbgafbf证由于0)(xg),(,bax,由定理2可推得.0)()(agbg(1)在闭区间],[ba上连续；),(ba0)(xg内可导,且(2)在开区间则在),(ba，使得内至少存在一点作辅助函数,)(满足罗尔定理的条件x.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba)].()([)()()()()()()(agxgagbgafbfafxfx,0)()()()()()(gagbgafbff即.)()()()()()(gfagbgafbf也可作辅助函数.)()()()()()()(afbfxgagbgxfxRolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF)()()(bfaf罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；小结1.三个中值定理之间的关系:Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxg)()()(bfafRolle定理2.利用微分中值定理证不等式步骤:;)()(abafbf(2)写出中值公式);()()(fabafbf(1)作函数)(xfx，使当取某两个数值时就成为(3)根据需要对)(f进行放大或缩小得到不等式。作业P95-96一、（R）1.(1)；5.6.8.10.二、（L）2.(2);11.(2)(4)；12.(1)三、（C）4.