2019届复旦附中初升高自招数学试卷

2019年复旦附中自招数学试卷（一）1.两个非零实数a、b满足abab，求ababba的值.2.已知|211||3||8|mmm，求m的取值范围.3.若关于x的不等式020192018ax的整数解为1、2、3、…、2018，求a的范围.4.已知ABC、ABC边长均为2，点D在线段BC上，求ADCD的最小值.5.已知x、y为实数，求2254824xyxyx的最小值.6.在ABC中，2BC，AD为A的角平分线，若2ABBDBDAB，求tanC的值.（二）1.等腰梯形ABCD中，13ABCD，6AD，16BC，CE⊥AB.（1）求CE的长；（2）求BCE内切圆的半径.2.定义当0xx时，0yx，则称00(,)xx为不动点.（1）若5xayxb有两个不动点(6,6)、(6,6)，求a、b的值；（2）若5xayxb有关于原点对称的不动点，求a、b满足的条件.3.已知()Sn为n的各位数字之和，例(2019)201912S.（1）当19502019n时，找出所有满足[()]4SSn的n；（2）当n为正整数时，找出所有满足()[()]2019nSnSSn的n.（三）1.平行四边形两条邻边为7和8，两条对角线为m、n，求22mn的值.2.已知正整数x、y满足2127xyxy，求xy的值.3.斐波那契数列为{1,1,2,3,5,8,}na，记数列nb为na中每一项除以4的余数，问{}nb中第2019次出现1时的序数（即第几个数）.参考答案（一）1.222()22abababababbaababab2.结合绝对值意义或者图像，3m或8m3.由101a，201920182019a可得，201912018a4.4ADCDADADAA，即最小值为45.配方，224()(1)33xyx，即最小值为36.求出12ABBD，由正弦定理，sin()sin223sinsin()22CABADBCBDBAD，结合诱导公式、三倍角公式、化切，可求得tan212C，由二倍角公式可求tan1C（二）1.（1）锐角三角比，19213；（2）在13、12、5的三角形中求得内切圆半径2r，结合相似比，213321613rr，即所求内切圆半径为32132.（1）36a，5b；（2）0a且25a，5b3.（1）找规律，()22Sn或()4Sn，符合的有1957、1966、1975、1984、1993、2002、2011；（2）先确定范围，()28Sn，[()]10SSn，∴1981n，再分析讨论，符合的有1987、1990、1993、2005、2008、2011（三）1.由余弦定理，22226mn2.127121xyx，可得42x，结合正整数的条件，分析可得，有(1,42)、(2,25)、(7,8)这些解（x、y可换），∴xy的值为43、27、153.分析可得，{}nb周期为6，且前六项为1、1、2、3、1、0，每个周期出现3次“1”，20193673，即第2019次出现1时，在第673个周期内最后一个“1”，即序数为672654037