3.2独立性检验的基本思想及其初步应用

3.2独立性检验的基本思想及其初步应用2定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、变量相关指数R、残差分析）分类变量——研究两个变量的相关关系：定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。变量分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、宗教信仰、国籍等等。两种变量：独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。吸烟与肺癌列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%探究不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计98749199651、列联表通过图形直观判断两个分类变量是否相关：2、等高条形图不吸烟吸烟00.10.20.30.40.50.60.70.80.91不吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题。现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设H0：吸烟与患肺癌没有关系.用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于P(AB)=P(A)P(B).不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d=n因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d=nadbc即()a+bPA,n()a+cPB,n()aPAB.n()()()a+b+c+daa+ba+cA表示不吸烟，B表示不患肺癌H0成立时ncanbana(n=a+b+c+d)为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量22(),()()()()其中为样本容量。nadbcKabcdacbdnabcd（1）若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？242209956.63278172148987491k9965(777549）（2）独立性检验在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。2(6.635)0.01.PK（2）也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01。思考206.635?KH如果，就断定不成立，这种判断出错的可能性有多大答：判断出错的概率为0.01。20099657775494220995663278172148987491().kHH现在观测值太大了，在成立的情况下能够出现这样的观测值的概率不超过0.01，因此我们有99%的把握认为不成立，即有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。独立性检验的基本思想（类似反证法）(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.0:H(2)在此假设下我们所构造的随机变量K2应该很小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定可信程度上说明不成立.即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对的充分证据。0H0H(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的k的值与临界值比较,说明假设不合理的程度，即说明“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度0k上面这种利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。例1在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？解：根据题目所给数据得到如下列联表：患心脏病不患心脏病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437根据联表1-13中的数据，得到221437(214597175451)16.3736.635.3891048665772K所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828独立性检验的步骤1.提出独立性假设H0，假设两个分类变量没有关系；2.列出2×2列联表,并计算K2的观测值k;3.将观测值k与临界值k0进行比较，并作出判断.22nadbcKabcdacbd(1)当K22.706,有_________的把握判定两个分类变量有关系;(2)当K23.841,有_________的把握判定两个分类变量有关系;(3)当K26.635,有_________的把握判定两个分类变量有关系;P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82890%95%99%课堂练习1.为考察高中生性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生,得到如下列联表:喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男3785122女35143178总计72228300由表中数据计算得K2≈4.513.问：能够有95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？（2）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（3）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.22()()()()()nadbcKabcdacbd20()PKk0.100.050.0100.0050k2.7063.8416.6357.879[2014高考辽宁文.18改编题]3.某大学餐饮中心为了了解新生和饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查的的南方学生共80人,其中喜欢吃甜品的有60人;调查的北方学生有20人,其中喜欢吃甜品的有10人.(1)请做出不同地域与是否喜欢甜品的列联表;（1）由题可得如下列联表：（2）