1讲-复数、复变函数及其导数

《数学物理方法》绪论物理学进展及其重要性数学与物理的关系如何学好《数学物理方法》参考书目主要内容一、物理学进展及其重要性(1)经典物理学经典力学(Newton)经典热力学(Carnot,Clausius)经典电磁学(Coulomb,Maxwell)等等其中一些主观臆断性的结论是非科学的，如：Newton认为光仅是一些传播的粒子。1、发展史（包括：经典与量子）（2）量子物理学（Plank,Heisenberg,Dirac,Einstein为代表）图1：黑体辐射能量密度曲线背景：二十世纪初出现的几朵乌云，比如黑体辐射、光电效应等。光电效应：只有光照大于临界频率时，光路才导通。光路是否导通与光强无关。EhE光照能量，下图光路导通。图2：光电效应光路2、物理学的发展方向：深度和广度力学弹性力学流体力学理论力学电磁学场与波微波磁性学：顺、抗、铁磁元激发（场）声子自旋（电子学）等离极元实物光子快子（1）深度（方向细化）（2）广度（学科交叉）如天体物理：实验手段-天文望远镜数学物理生物物理：《生命是什么》、负熵自然辩证法：物相互转化3、物理学推动的三次技术革命(1)Watt蒸汽机代替手工(2)Maxwell为代表的电气化：扩大了生产规模，提高了效率(3)自动化和新能源革命：纳米科技及量子计算机、自然能与氢能、原子能二、数学与物理（相辅相成）（椭圆型：封闭式）（抛物型：临界式）（双曲型：开放式）1013822kRGR物理推动数学：Dirac引出的算符发展为数学中的算符学；热力学中的熵发展为数学中熵函数。数学也推动物理：格林函数在物理学中的应用；霍·金从数学推断出：宇宙是由无限高密的奇点经大爆炸形成的，并给出守恒方程：Fermi把物理研究总结为两类：•把问题简化为物理模型•问题有严谨的数学过程三、如何学好《数学物理方法》1.与实变函数联系2.把物理规律翻译成数学公式3.通过习题练习，掌握数、理互译过程4.广泛阅读，掌握多种技能（如：计算软件Matlab、物理实验等）提高综合能力参考书：（不同体系）1.郭敦仁编《数学物理方法》，高教社2.吴崇试编《数学物理方法》，北大出版社3.潘忠诚编《数学物理方法》，南开大学4.胡嗣柱编《数学物理方法》，高教社5.邵惠民编《数学物理方法》，科学出版社6.姚端正编《数学物理方法》，科学出版社7.王竹溪编《特殊函数》，北大出版社8.季孝达编《数学物理方程》，科学出版社第一章复变函数复数的引入复数的表示复数运算复变函数复数的导数及求导规则柯西-黎曼方程（C-R条件）本节内容§1.1复数及其运算2、三种表示及关系：代数式：三角式：指数式：(cossin)iziezizxy其中，模，x、y分别为实部和虚部；复角记为：定义复角主值：。复数的几何意义：代表向量。注：特殊复数“0”。22yx.2xyarctgkArgz),-[)2,0[arg或zYz(x,y)0X复平面1、引入虚单位：1i（数学体系封闭性要求）3、共轭复数z*（或记为）定义：z*=x-iy，与z关于X轴对称。二、无限远点定义：复平面上模为无限大的复数归并成的一点，可以用复数球的北极点来表示。如图：复平面上A点与球面上的唯一点A’点对应，复平面上模为无限大的点与球的北极点N对应。O为复平面原点，复数球的南极点。z三、复数运算1、和差：121212()()izzxxyy2、积：12112212121221()()()()iiizzxyxyxxyyxyxy12()12121212[cos()sin()]iie3、商：12()1111212222[cos()sin()]iizez4、幂：(cossin)iinnnnzenn(cossin)iinnnnzenn5、根式：四、复运算结果的解释1、和满足平行四边形法则，差满足三角形法则四边形法则z1z2z3三角形法则z1z2z32、根式结果的多值性令argizze2argikznnnze其中可取k=0，1…n-1共n个值。五、共轭运算1、2121zzzz2、2121zzzz3、2121zzzz4、zz5、2||zzz证明1、2121zzzz令111222iizxyzxy111222121212()()iiizxyzxyzzxxyy121212121212()()()()iizzxxyyzzxxyy得证。共同证明2、2121zzzz令121122iizeze得证。212211iiezez1212()1212()1212iizzezze其余作为练习。举例：例1.倍角关系：1、求cos3和sin3的单角表示形式。解：由cos3+isin3=ei3=(ei)3=(cos+isin)3=(cos3-3cossin2)+i(3cos2sinsin3)比较实部和虚部得：sincos3sin3sinsincos3cos3cos2323例1.2：求cos4和sin4的单角表示形式。(自作）解：由cos4+isin4=ei4=(ei)4=(cos+isin)4=(cos4-6cos2sin2+sin4)+i(4cos3sin-4cossin3)得：334224sincos4sincos44sinsinsincos6cos4cos例2.几何意义1、解释|z-i|≤2代表的几何意义。解：令z=x+iy，则|z-i|≤22222)1(yx代表以（0，1）为圆心，以2为半径的圆及其内部。1oxy例2.2：解释|z-i|=|z-2|代表的几何意义。解：令z=x+iy，则|z-i|=|z-2|2222)2()1(yxyx代表斜率为2截距为-1.5的直线，即(0,1)-(2,0)线段的垂直平分线。232xy12-1.5推广：|z-a|=|z-b|例3：复数化简(下面a,b为实数)1、化简cos(a+ib)解法一：()()1122cos()ii-iiiaibaibbabaabeeee12(cossin)(cossin)cossin22iiibbbbbbeaaeaaeeeeaacoshcossinhsin.ibaba解法二：三角函数的和差角公式对复数仍成立(见下节)cos()coscos()sinsin().iiiababab))1122))122coscosh,sinsinh,i(i-i(ii(i-i(iiiiiibbbbbbbbbeeeebbeeeebcos()coscoshsinsinh.iiababab2、化简ia+ib解：2(2),iine222(2)()(2)(2).iiiiikabbkakabeee作业：P5：1(3,8),2（4,6），3（1,3,7）例：二维矩阵运算（略）§1.2复变函数一、定义：w=f(z),z∈E。二、概念1、z0点的邻域：2、内点z1、外点z2和境界点z3（见图1）3、区域二要素：内点组成；具有连通性（图2）4、闭区域：含境界线B单连通复连通非区域图2z2z3z1境界线图1E三、基本复变函数1.指数：ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)=ez+i2(多对一）2.对数：lnz=ln(|z|eiArgz)=ln|z|+iArgz（一对多）3.三角：sinz=(eiz-e-iz)/(2i),cosz=(eiz+e-iz)/24.双曲：sinhz=(ez-e-z)/2,coshz=(ez+e-z)/2说明：1.三角函数具有实周期2，其模可大于1；证明：cosz=(eiz+e-iz)/2=[cosx(e-y+ey)+i(e-y-ey)sinx]从而|cosz|=[(e-2y+e2y)+2(cos2x-sin2x)]1/2可大于1。2.指数和双曲函数具有纯虚数周期2i。3.对数复变函数值不唯一（多值函数）。4.令z=iz，则siniz=(e-z-ez)/(2i)=isinhz,cosiz=(e-z+ez)/2=coshz。四、初等函数例题()ln.iiiiababe例、（上节例3.2）化简ia+ib解：利用指数函数的换底公式得22lnln22iii()=i(),kk222()(2)(2)(2).iiiiiabkbkakabeee结果同前。五、复变函数与实变函数的联系（补充实变函数性质）1.复变函数可归结为一对实变函数记为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)；因此实变函数的许多结论可移植到复变函数。2.极限：limz→z0f(z)=A定义：当0|z-z0|d时，总有|f(z)-A|e。3.点连续：f(z)在z0邻域内有定义，且存在极限limz→z0f(z)=f(z0)。4.区域连续：当f(z)在区域B中的每一点都连续。作业：P9：2（1，3，5，9）、3§1.3复数导数一、可导定义：若单值函数f(z)=w在定义域B上某点z处存在极限limΔz→0[f(z+Δz)-f(z)]/Δz，且极限与Δz→0的方式无关，则称f(z)在z点可导，极限记为f‘(z)或df/dz。可微定义：若Δw=f(z+Δz)-f(z)可写成Δw=A(z)Δz+ρ(Δz),其中limΔz→0ρ(Δz)/Δz为0，则称f(z)在z点可微，其微分dw=A(z)dz，其中规定dz=Δz。二、C-R方程？1、证明：因f(z)可导，则Δz沿任何方向趋于0时极限都相等，即当Δz=iΔy→0时(沿y轴方向)，其极限：f‘(z)/Δz=iΔy=ǝf/iǝy=limΔy→0{[u(x,y+Δy)+iv(x,y+Δy)]-[u(x,y)+iv(x,y)]}/iΔy=ǝv/ǝy-iǝu/ǝy。而，当Δz=Δx→0时(沿x轴方向)，极限：f‘(z)/Δz=Δx=ǝf/ǝx=ǝu/ǝx+iǝv/ǝx。沿两个方向的极限应相等，即得此二式便称为Cauchy-Riemann方程（也叫C-R条件）。xvyuyvxuxvyuyvxu,•重要说明：•C-R条件是可导的必要但不充分条件。),,(),(ImRe)(yxivyxuxyzzzf例如：函数在z=0处：,00)0,0()0,(limlim000xxuxuxuxxz.0),(,),(yxvxyyxu.),(,0),(xyyxvyxu同样，,0000zzzyvxvyu,0iez令Δf/Δz在一、三象限极限为：,sincossincos)0()0(limlim00iizeezfzf而在二、四象限为,sincosiei二者不等，即不可导。即z=0处C-R条件成立。在一、三象限,0xy在二、四象限,0xy三、可导的充要条件在区域B上函数的实部u和虚部v存在连续可导的偏导数，并满足C-R条件。证明：因实部u和虚部v连续可导，故存在全微分.,dyyvdxxvdvdyyudxxudu)(i)(idyyvdxxvdyyudxxudvdudf)i(i)i(RCdydxxvdydxxu.)i(dzxvxu故导数存在：.ixv