正弦余弦函数性质

正弦、余弦函数的性质(2,0)(,-1)23(,0)(,1)2要点回顾.正弦函数、余弦函数的图象1)图象作法---几何法五点法2)正弦曲线、余弦曲线x6yo--12345-2-3-41余弦曲线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)x6yo--12345-2-3-41正弦曲线(0,0)定义域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数sinyx定义域：R值域：[-1，1]余弦函数cosyx定义域：R值域：[-1，1]|sin|1|cos|1≤≤xx例求下列函数的定义域和值域。(1)3sinyx(2)cosyx定义域值域R3{|22,}22xkxkkZ[0,1][2,4]观察下列正弦曲线和余弦曲线的规律，你有什么发现？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1222222222222y=cosx正弦函数的性质1结论：象这样一种函数叫做周期函数.(1)正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；(2)规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k，kZ重复出现）；(3)这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明.对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x＋T)＝f(x).那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.周期函数定义：问题：,6sin)326sin(,sin)1(有对于函数Rxxy?32是它的周期能否说:1.,()()().sin()sin,424fxTfxTyfxxx例定义是对定义域中的值来说的只有注意:每一个个别的满足不能说值:是的周期如2sin()sin,sin.22xxxyx就是说不能对在定义域内的每一个值使因此不是的周期sin()sin.323但是判断下列说法是否正确（1）时，则一定不是的周期3x2sin()sin3xx23sinyx（）√（2）时，则一定是的周期76x2sin()sin3xx23sinyx（）×?,sin)2(多少函数，如果是，周期为是不是周期正弦函数Rxxy??)(,,)()3(*为什么周期吗也是则的周期为若函数xfZkkTTxf结论：对于周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期xyo-2-234······结合图像：在定义域内任取一个，k2由诱导公式可知：正弦函数)(sinRxxyxxkxsin)2sin()()2(xfkxf正弦函数是周期函数，周期是)(sinRxxy即XX+2πyx024-2y=sinx(x∈R)自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的oyx4π8πxoy6π12π三角函数的周期性:3.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数)1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数概念2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。非零常数T叫做这个函数的周期说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期。求下列函数的周期：cosx是以2π为周期的周期函数.(2)sin(2)sin(22)sin2(),sin2xxxyx是以π为周期的周期函数.解:(1)∵对任意实数有RxxyRxxyRxxy),621sin(2)3(,2sin)2(,cos3)1()2()2sin(3sin3)(xfxxxfx(3)112sin()2sin(2)262612sin(4),26xxx12sin()26yx是以４π为周期的周期函数．2221212xycos3xy2sin)621sin(2xy函数周期)621sin(2xy2TT4T4T212函数及函数的周期RxxAy),sin(RxxAy),cos(两个函数RxxAy),sin(RxxAy),cos(（其中为常数且A≠0),,A的周期仅与自变量的系数有关，那么如何用自变量的系数来表述上述函数的周期？2TP36练习1练习2：求下列函数的周期课堂练习：RxxyRxxyRxxyRxxy),431sin()4(,cos21)3(,4cos)2(,43sin)1(38342432T242T212T632312T当堂检测（1）下列函数中，最小正周期是的函数是（）2cos21sinxyBxyA、、xyCcos、xyD2cos、（2）函数xysin的最小正周期为_____。0),3sin(xy3___（3）已知函数的周期为，则D26(4)函数的最小正周期是2)1(cosxy4一般地，函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)（其中A,ω,φ为常数，且A≠0,ω≠0）的周期是:周期求法：1.定义法：2.公式法：2(0)T•3.图象法:x22322523yO23225311x22322523yO23225311二.奇偶性(1)()sin,fxxxRxR任意()sin()fxxsinx()fx()sin,fxxxR为奇函数(2)()cos,fxxxRxR任意()cos()fxxcosx()fx()cos,fxxxR为偶函数讲授新课正弦、余弦函数的性质2——奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象关于有怎样的对称性？其特点是什么？x22322523yO23225311正弦函数的图象x22322523yO23225311余弦函数的图象中心对称：将图象绕对称中心旋转180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合。轴对称：将图象绕对称轴折叠180度后所得的曲线能够和原来的曲线重合。x22322523yO23225311P'P正弦函数的图象53113,,,,22222x对称轴：,2xkkZ(,0),(0,0),(,0),(2,0)对称中心：(,0)kkZ余弦函数的图象,0,,2x对称轴：,xkkZ35(,0),(,0),(,0),(,0)2222对称中心：(,0)2kkZ'PPx22322523yO23225311正弦、余弦函数的对称性x6yo--12345-2-3-41x6o--12345-2-3-41y)(sinRxxy)(cosRxxyy=sinx的图象对称轴为：y=sinx的图象对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：y=cosx的图象对称中心为：；，Zkkx2.)0(Zkk，，；，Zkkx.)02(Zkk，，任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.练习为函数的一条对称轴的是（）sin(2)3yxx22322523yO232253114.3Ax12x.2Bx.0Dx解：经验证，当.12Cx时232x12x为对称轴例题求函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx23zx解（1）令则sin(2)sin3yxzsinyz的对称轴为,2zkkZ232xk解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz的对称中心为(,0),kkZ23xk对称中心为62xkzk(,0),Z62kk解（1）令则的对称轴为解得：对称轴为的对称中心为对称中心为•求函数的对称轴和对称中心1cos()24yx421xzzcos1cos()24yxzycoskzkx421Zkkx,22zycos)2(zkk),0,2(,2kz2421kxZkkx,22Zkk),0,22(Zkkx,22x.xyx;xy;xyx;ysin(4)cossin(3)2cos(2)2sin(1).奇偶性练习：判断下列函数的1、__________，则f（x）在这个区间上是增函数.)()(21xfxf3.正弦余弦函数的单调性函数(),yfx若在指定区间任取，12xx、且，都有：21xx函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、__________，则f（x）在这个区间上是减函数.)()(21xfxf增函数：上升减函数：下降探究：正弦函数的单调性]2523[]22[]23,25[，、，、当在区间……上时，x曲线逐渐上升，sinα的值由增大到。11753357[,][][][,]22222222…、，、，、…当在区间x上时，曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11x22322523yO23225311正弦函数的单调性y=sinx(xR)xyo--1234-2-31223252722325xsinx2223…0………-1010-1增区间为其值从-1增至1)](22,22[zkkk减区间为其值从1减至-1)](223,22[zkkk；减小到其值从上都是减函数，在每个闭区间；增大到上都是增函数其值从在每一个闭区间正弦函数11]223,22[11]22,22[sinkkkkxy正弦函数的性质—单调性0yx22342xysin23探究：余弦函数的单调性[3,2][0][2][3,4]、，、，当在区间x上时，曲线逐渐上升，cosα的值由增大到。11曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。11[2,][0][23]、，、，当在区间x上时，x22322523yO23225311余弦函数的单调性y=cosx(xR)xcosx22-……0……-1010-1yxo--1234-2-31223252722325增区间为其值从-1增至1)](2,2[zkkk减区间为其值从1减至-1)](2,2[zkkk；减小到其值从上都是减函数，在每个闭区间；增大到上都是增函数，其值从在每一个闭区间余弦函数11]2,2[11]2,2[coskkkkxy余弦函数的性质—单调性0yx22342xycos23练习P404.先画草图，然后根据草图判断x22322523yO23225344xysin4],[x探究：正弦函数的最大