一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式应用恒成立问题判别式△=b2-4acy=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根ax2+bx+c0(a0)的解集ax2+bx+c0(a0)的解集△0有两相异实根x1,x2(x1x2){x|xx1,或xx2}{x|x1xx2}△=0△0有两相等实根x1=x2={x|x≠}x1x2xyOyxOΦΦR没有实根yxOx1ab2ab2题型一定义域为R时2x20xm例1：若不等式对任意实数x恒成立，求m取值范围。2()2()00fxxxmfx分析：函数开口向上恒成立需2=--401mm（2），解得变式1：若函数的定义域为R，则m的取值范围是__________。2()2fxxxm22.20,____.xxmm变式若不等式的解集为空集则实数的取值范围是2310,xxmxR变式若关于的不等式：的解集为求实数m的取值范围。变式4.设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；规范解答解(1)要使mx2－mx－10恒成立，若m＝0，显然－10；若m≠0，则m0，Δ＝m2＋4m0⇒－4m0.所以－4m≤0.22+20,xaxaxR练习：若关于的不等式：的解集为求实数a的取值范围。（1）二次不等式ax2+bx+c0恒成立题型一方法小结（2）二次不等式ax2+bx+c0恒成立2040abac2040abac（3）二次不等式ax2+bx+c≥0恒成立2040abac（4）二次不等式ax2+bx+c≤0恒成立0402acba则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，分离参数法例2.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.2290≤xxm9m≤2()29,[2,3],gxxxx记min()(3)9,gxg9.m≤【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．题型二定义域不为R时练习3：若不等式x2-mx+40对于x∈(0,3)恒成立,则实数m的取值范围是_______.练习2：若不等式mx2-2x+10对于x∈(0,3)恒成立,则实数m的取值范围是_______.练习1：若不等式x2-2x+m0对于x∈(0,3)恒成立,则实数m的取值范围是_______.变式：若对于任意[1,1]a，函数2()2fxxax的值恒小于0，则x的取值范围是________________________．11x2()2gaxax(1)0(1)0gg此题若把它看成关于x的二次函数,由于a,x都要变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元,则给解题带来转机.练习：若不等式x2+(a-4)x+4-2a0对于a∈[-1,1]恒成立,则实数x的取值范围是_______.2(4)42()axagax2(2)44xaxx(1)0(1)0gg13xx或(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(3)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．题型二方法小结问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数2()29,[2,3],fxxxmx2981()2(),[2,3],48fxxmxmax()(3)90,fxfm≤9.m≤23y..xo（2）转换求函数的最值例2.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.2290≤xxm9m≤(2)0(3)0ff≤≤则10090mm≤≤解：构造函数2()29,[2,3],fxxxmx9.m≤23y..xo例2.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.2290≤xxm9m≤（３）数形结合思想